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Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada

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Enunciado

UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de C1 - Profº Rubens Sucupira - Lista 3, Questão 47

Um barco deixa as docas às   14   h e navega para o sul a uma velocidade de 20   k m / h . Um outro barco está se dirigindo para leste a uma velocidade de 15   k m / h e atinge a mesma doca às 15   h .

Determine a velocidade de afastamento entre os dois barcos às   18   h .

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc1!!! Dessa vez uma questão sobre taxas relacionadas. Temos a seguinte situação

Um barco deixa as docas às   14   h e navega para o sul a uma velocidade de 20   k m / h . Um outro barco está se dirigindo para leste a uma velocidade de 15   k m / h e atinge a mesma doca às 15   h .

Ou seja, Vamos fazer um desenho para visualizarmos o problema

Passo 2

Bem, queremos saber a velocidade com a qual eles se distanciam quando o tempo é 18 h . Bem, como o barco azul chega na doca às 15 h . Podemos atualizar nosso desenho dos barcos e deduzir as equações de movimento de cada um deles.

usando as informações do enunciado. Podemos descrever as seguintes equações de movimento para cada um dos barcos

azul

x ( t ) = 15 t

vermelho

y ( t ) = 20 t + 20

Logo, a distância entre esses barcos é dada por:

d ( t ) = x 2 ( t ) + y 2 ( t )

e

d 2 ( t ) = x 2 ( t ) + y 2 ( t )

Como queremos a velocidade, vamos derivar a função distância. Derivando em t , temos:

d ' ( t ) = 1 2 x 2 ( t ) + y 2 ( t ) * ( x 2 ( t ) + y 2 ( t ) ) '

Agora, vamos usar a regra da cadeia para calcularmos essa derivada

= 1 2 x 2 ( t ) + y 2 ( t ) * ( 2 x ( t ) * x ' ( t ) + 2 y ( t ) * y ' ( t ) )

Passo 3

Chegamos à conclusão que a derivada é

1 2 x 2 ( t ) + y 2 ( t ) * ( 2 x ( t ) * x ' ( t ) + 2 y ( t ) * y ' ( t ) )

O enunciado diz que

x ' ( t ) = 15

vermelho

y ' ( t ) = 20

Logo, substituindo os valores para t = 3 (pois estamos começando nossa análise a partir das 15 h r )

Substituindo os valores, obtemos que

d ' ( 3 ) = 1 2 4 5 2 + 8 0 2 * ( 30 * 45 + 40 * 80 )

= 4550 2 4 5 2 + 8 0 2

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

D e s e n v o l v i m e n t o   A c i m a

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