UFABC – Cálculo 1 – Lista 3 – 1
Se uma bola de neve derrete de tal forma que sua área de superfície decresce a uma taxa de 1 cm²/min, encontre a taxa segundo a qual o diâmetro decresce quando o diâmetro é 10 cm.
Passo 1
E aí, gente!! Tudo bem? Vamos para mais um desafio?
O problema diz que a área em função do tempo, em minutos, decresce uma taxa de 1 cm²/min, então e em um determinado instante, o diâmetro é . Agora, nós queremos descobrir como do diâmetro vai variar com o tempo, ou seja, . Então, pensa comigo...se a gente conseguir relacionar a variação da área com a variação do diâmetro, conseguimos solucionar nosso problema, certo?
E vai ser exatamente isso que iremos fazer!!!
Passo 2
A bola de neve nada mais é do que um tipo de esfera de diâmetro que vai variando com o tempo.
A área superficial da bola de neve, pode ser descrita da seguinte maneira:
Onde se a gente sabe que a área dependerá do tempo, e que o raio também depende do tempo, certo? Então podemos dizer que temos na verdade:
Passo 3
Se a gente agora derivar a equação implicitamente em função do tempo, podemos obter as taxas de variação da área e do diâmetro.
Se e , então temos:
Logo, temos
Ou seja, a taxa de variação do diâmetro é de cm/mim, o sinal negativo significa que está decrescendo com o passar do tempo, como esperado.
Resposta
A taxa de variação do diâmetro é de cm/mim, o sinal negativo significa que está decrescendo com o passar do tempo, como esperado.