Considere um cubo inscrito numa esfera. Conforme o lado do cubo aumenta, a esfera também aumenta, de forma que o primeiro esteja sempre inscrito na segunda. Sabendo que o lado do cubo varia a uma taxa de 3   c m / m i n , qual a taxa de variação do volume da esfera quando o cubo alcançar 10   c m ?

Passo 1

R o raio da esfera e L o lado do cubo, tenhamos:

2 R 2 = L 2 + L 2 2

⇒ 4 R 2 = 3 L 2 ⇒ R = L 3 2

O volume da esfera é a grandeza a ser analisada portanto, considere:

V = 4 π R 3 3 = 4 π 3 3 3 8 L 3 = π 3 2 L 3  

Passo 2

Derivando o volume a regra da cadeia nos dá:

d V L d t = d V L d L ⋅ d L d t = d d L π 3 2 L 3   ⋅ d L d t = π 3 2 3 L 2 ⋅ d L d t

Substituindo:

d V 10   c m d t = 3 π 3 2 10 2 ⋅ 3 c m 3 m i n = 450 π 3   c m 3 m i n

Resposta

450 π 3   c m 3 m i n

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