UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de C1 - Profº Rubens Sucupira - Lista 3, Questão 55b
Um reservatório cônico de de profundidade e de diâmetro está recebendo água na razão de . Determine:
b) A taxa de variação da área da superfície da água quando esta estiver a ;
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente determinar a taxa de variação da área da superfície da água em relação ao tempo, ou seja, .
Nós sabemos que o reservatório cônico tem um raio , que é metade do diâmetro () e nós calculamos no item uma variação de altura do nível da água, que foi .
Vamos esboçar o cone pra entender melhor:
Então, para encontrar , vamos relacionar a altura e o raio do cone através das dimensões da figura e utilizar a expressão da área da circunferência, que é equivalente a área da superfície da água:
Em seguida, vamos derivar essa equação e substituir os dados do enunciado para encontrar a nossa taxa.
Vamos lá!
Passo 2
Olhando a figura do passo , nós conseguimos relacionar o raio e a altura através da equação:
Isolando , temos:
Substituindo esse valor de na expressão da área superficial , vamos ter:
Passo 3
Agora vamos derivar cada lado da equação da área em relação a :
Como temos , quando a água estiver a (), vamos ter:
Isso significa que a área da superfíe da água vai aumentando a uma taxa de .
Valeu, galera! Até a próxima! 😉