Considere y = f(x) definida implicitamente por x^4 - xy + y^4 = 1 . Calcule f'(0) , sabendo que f(x) > 0 , ∀x ∈ R .

Passo 1

Falaeee, beleza??

O enunciado tá pedindo pra gente calcular f ' ( 0 ) , ou seja, queremos derivar a função e encontrar o valor que corresponde a x = 0 .

Mas ele também traz uma outra informação muuuito importante pra nossa resolução: a função tá definida implicitamente, o que quer dizer que não conseguimos isolar o y ( x ) nessa expressão. Nesses casos, temos que usar a derivação implícita, que é um pouquinho diferente de uma derivada comum.

Então bora derivar isso aí!

Passo 2

Vamos começar aplicando a derivada ( d / d x ) a cada um dos termos da igualdade:

d d x x 4 - d d x x y + d d x y 4 = d d x 1

Nos termos que não tem y , podemos calcular a derivada normalmente:

d d x x 4 = 4 x 3

d d x 1 = 0

Só nos outros termos que a coisa vai mudar um pouquinho, já que o y ali na verdade é uma função de x .

Para x y , vamos calcular a derivada como se fosse uma regra do produto:

d d x x y = y + x y '

Para y 3 , vamos calcular a derivada como se fosse uma regra da cadeia:

d d x y 4 = 4 y 3 ∙ y '

Agora que tá tudo calculado, vamos substituir na igualdade:

4 x 3 - y - x y ' + 4 y 3 y ' = 0

Prontinho!

Passo 3

No entanto, para determinarmos f ' ( 0 ) , precisamos primeiramente de f ( 0 ) .

Para isso, basta a gente substituir x por 0 na função original:

0 4 - 0 ∙ y + y 4 = 1 ∴

y = + 1

Obs: Esse valor é positivo pois f x > 0 para todo x .

Passo 4

Dessa forma, podemos determinar y ' para x = 0 e f 0 = 1 . Se liga:

4 ∙ 0 - 1 + 0 ∙ y ' + 4 ∙ 1 3 ∙ y ' = 0 ∴

y ' = 1 4

Entendeu direitinho?? Responde Aí haha

Resposta

y ' = 1 4

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