Um quadro com 40   c m de altura está colocado numa parede vertical, sendo que sua base está a 30   c m acima do nível dos olhos de um observador. Se o observador está se aproximando da parede a uma velocidade de 40   c m / s , determine a taxa de variação da medida do ângulo de visão da pintura no instante em que o observador estiver a 1   m da parede.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a taxa de variação do ângulo θ em relação ao tempo. Sabemos que o quadro tem 40   c m de altura e está colocado na parede numa altura de 30   c m acima dos olhos do observador. Observe a figura:

Sendo x a distância do observador até a parede, observamos na figura que β = α + θ . Além disso, observando as relações trigonométricas desses ângulos, também vamos ter:

cot ⁡ β = x 70 → β = cot - 1 ⁡ x 70

cot ⁡ ( α ) = x 30 → α = cot - 1 ⁡ x 30

Substituindo essas relações em θ = β - α , temos:

θ = cot - 1 ⁡ x 70 - cot - 1 ⁡ x 30

Essa expressão que nós vamos derivar implicitamente em realação a t , porque a distância x também é uma função do tempo, e encontrar a taxa de variação da medida do ângulo de visão, d θ d t , da pintura no instante em que o observador estiver a 1   m da parede.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar escrevendo a derivada da nossa função:

d θ d t = d d t cot - 1 ⁡ x 70 - cot - 1 ⁡ x 30

d θ d t = d d t cot - 1 ⁡ x 70 - d d t cot - 1 ⁡ x 30

Então, derivando θ em rela��ão a t , teremos:

d θ d t = - x 70 ' 1 + x 70 2 - - x 30 ' 1 + x 30 2

d θ d t = - 1 70 ∙ d x d t 1 + x 2 4900 + 1 30 ∙ d x d t 1 + x 2 900

Agora vamos substituir a velocidade d x d t = - 40   c m / s , que é negativa porque a medida que o observador se aproxima da parede, a distância x diminui a uma taxa de 40   c m / s , certo? Assim, temos:

d θ d t = - 1 70 ∙ ( - 40 ) 1 + x 2 4900 + 1 30 ∙ ( - 40 ) 1 + x 2 900

d θ d t = 4 7 1 + x 2 4900 - 4 3 1 + x 2 900

Então, quando observado estiver a 1   m da parede, teremos x = 100   c m e nossa taxa será:

d θ d t = 4 7 1 + ( 100 ) 2 4900 - 4 3 1 + ( 100 ) 2 900

d θ d t = 4 7 49 + 100 49 - 4 3 9 + 100 9

d θ d t = 4 7 49 149 - 4 3 9 109 = 196 1043 - 36 327

Logo,

d θ d t ≈ 0,078   r a d / s

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

0,078   r a d / s

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