UFSC – Cálculo 1 – Listas – Listas de Aplicações de Derivadas – Lista 3.2 – Taxa de Variação – C3
É muito comum falarmos em taxa de crescimento usando porcentagens: por exemplo, a população cresce 1% ao ano. Essa medida é uma medida relativa comparada ao seu valor prévio: a população do ano seguinte é 1% maior que a população do ano atual. Apesar de não parecer, essa afirmação pode ser traduzida matematicamente usando a noção de taxa de variação média: se P(t) é a população no ano t, então essa afirmação pode ser escrita como
O denominador da fração do lado esquerdo é , mas colocamos na forma de para ilustrar o quociente que representa a taxa de variação média. E se essa informação da taxa de crescimento relativa não for “média”, mas sim instantânea? Neste caso, o lado esquerdo da igualdade é trocado por e ficamos com
- Mostre que , em que é a população no instante de tempo , é solução da equação acima.
- Mostre que , em que é a população no instante de tempo , é solução da equação .
- Justifique a afirmação: “Em uma população modelada pela função , em que é medido em anos, a taxa de crescimento anual é .”
- Determine a taxa de crescimento anual de uma população que cresce proporcionalmente ao seu tamanho e que, em anos, saltou de bilhões para bilhões de habitantes
Passo 1
Falaeee, belezinha?? Seguinte, vamos começar aqui direitinho com a letra (a).
Sendo , temos que sua derivada é .
Portanto, observamos que .
Observamos também que, para (população no instante de tempo ),
Passo 2
Na letra (b), da mesma forma que fizemos na letra (a), sendo agora , derivando , temos .
E, substituindo , temos:
Observa-se também que, pata , temos:
Passo 3
Na letra (c), se derivarmos , obtemos .
Substituindo nessa expressão o valor de , vemos que .
Essa expressão indica que a taxa de variação de é de ou .
Passo 4
Para a letra (d), temos que a expressão para a população em função do tempo é dada por: .
Sabendo que para , , determinaremos a constante a seguir:
Logo, verificamos que a taxa de crescimento da população é de .
Entendeu direitinho? Responde aee ;)
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)