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Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada

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Enunciado

UnB – Lista 17 - 6

Dois carros iniciam o movimento partindo de um mesmo ponto. Um viaja para o sul a 30 k m / h e o outro para oeste a 72 k m / h . A que taxa está crescendo a distância entre os carros duas horas depois?

Um carro A está se movimentando para o oeste a 90km/h e o carro B está se movimentando para o norte a 100 km/h. Ambos vão em direção à interseção de duas estradas. A que taxas os carros se aproximam um do outro quando o carro A está a 60 m e o carro B está a 80 m da interseção?

Passo 1

Faalaa Clóviiss... Mais um exerciciozinho de taxas relacionadas. Vamos juntos!

Bom, antes de qualquer coisa vamos tentar enxergar o que ta se passando, olha só:

Perceba então que o que a gente quer é o quanto aquela distância d está aumentando, ou seja:

d ( d ) d t = ?

Passo 2

Então a gente tem que buscar um jeito de expressar esse cara; qual a primeira coisa que vêm a sua cabeça??

Claaarroo o tio Pitágoras; taca-lhe pau nesse carrinho então:

d 2 = S 1 2 + S 2 2

Mas o que estamos buscando é:

d d d t

Bora derivar isso daí então;

d 2 = S 1 2 + S 2 2

Derivando dos dois lados, encontramos:

d d 2 d t = d S 1 2 d t + d S 2 2 d t

Por partes, primeiro a gente trata da potência:

2 d d d d t =   2 S 1 d S 1 d t + 2 S 2 d S 2 d t  

Simplificando tudo por 2:

d d d d t =   S 1 d S 1 d t + S 2 d S 2 d t  

Passando o d para o outro lado, ficamos com:

d d d t = 1 d S 1 d S 1 d t + S 2 d S 2 d t

Ta comigo??

Passo 3

Ou seja, no final das contas:

d d d t = 1 d S 1 d S 1 d t + S 2 d S 2 d t

Onde d S 1 d t = 90 k m / h e d s 2 d t = 100 k m / h

E após duas horas:

S 1 = 90 k m h * 2 h = 180 k m         e   S 2 = 100 k m h * 2 h = 200 k m

A distância d é dada por:

d 2 = S 1 2 + S 2 2

Substituindo os valores das distâncias percorridas S 1 e S 2 :

d 2 = 60 2 + 144 2

d =   180 2 + 200 2

d = 72400  

Chegamos a distância d percorrida após duas horas:

d = 269 k m

Agora vamos substituir todos os valores na fórmula:

d d d t = 1 269 60   .   90 + 80   .   100

d d d t = 50 k m / h

E isso é tudo!

Resposta

Concluindo, a distância entre os carros está variando a uma taxa de 50 k m / h , duas horas após eles se separarem.

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