4. Considere o ponto P = P(t) deslocando-se sobre o gráfico

y = f(x) = 4x + 49 / x , para x > 0 ,

Onde x e y são medidos em centímetros. Denotemos por Q = Q(t) o ponto dado pela interseção do eixo y com a reta tangente ao gráfico de f no ponto P = P(t) . Sabendo que a coordenada x do ponto P varia a uma taxa constante de -0,3 * cm / s , determine com que taxa estará variando a coordenada y do ponto Q no instante em que as coordenadas do ponto P forem (7 / 2, 28) .

A : 1,2 cm / s

B : 4,2 cm / s

C : 2,4 cm / s

D : -1, 2 cm/s

E: 2,1 cm/s

Passo 1

Vem comigo que a gente resolve essa juntos!

Temos um problema de taxas relacionadas em mãos. Temos um ponto P que se desloca no gráfico de f ( x ) e temos uma reta tangente ao gráfico dessa função que sempre vai tangenciar em P e essa reta cruza o eixo y em um ponto Q .

Então a derivada da função f fornece a inclinação dessa reta tangente em P .

Como P anda sobre o gráfico de f as suas coordenadas são obtidas a partir de f então a taxa com que a coordenada x de P varia é a mesma para o x da função f .

Um fato que vai nos ajudar aqui é saber que a tangente do ângulo formado pela reta tangente ao gráfico e uma reta horizontal que passa por P é igual a derivada de f , já que essa derivada fornece a inclinação da reta.

Só que esse ângulo começa a contar no sentido anti-horário, e esse ângulo que mencionei acima é o seguinte:

Mãos à obra então!

Passo 2

Vamos primeiro calcular a derivada de f , temos que:

f ' = 4 - 49 x 2

E isso é igual a tangente de - θ , assim:

tg ⁡ - θ = 4 - 49 x 2

Passo 3

Agora levando em conta que θ é o ângulo formado pela reta tangente e uma reta horizontal que passa por P , temos que:

tg ⁡ - θ = y x

Só que esse y é a altura em que a reta tangente encosta no eixo y , logo essa altura vai ser igual a Q menos a altura de P e x é a coordenada do ponto P , assim:

tg ⁡ - θ = - tg ⁡ θ = Q - h P x

⇒ tg ⁡ θ = - Q + h P x

Passo 4

Igualando a derivada com o termo da tangente, temos:

- Q + h P x = 4 - 49 x 2

⇒ Q = - 4 x + 49 x + h P

Mas o que queremos é a taxa temporal com que Q varia, então temos que derivar essa expressão em relação ao tempo, assim:

d Q d t = - 4 d x d t - 49 x 2 d x d t

O enunciado já nos deu o valor de d x / d t e queremos quando P está no ponto x = 7 2 , assim:

d Q d t = - 4 - 0,3 c m / s - 49 7 2 2 ( - 0,3   c m / s )

⇒ d Q d t = 1,2   c m / s + 1,2   c m / s = 2 , 4   c m / s

Logo a alternativa correta é a letra C .

Resposta

C : 2,4   c m / s

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