Considere a função

f x = x - s e n x x 3 ,   s e   x = 0 1 6 ,                                 s e   x ≠ 0

b) Usando a série encontrada no item anterior, mostre que

lim x → 0 ⁡ x - s e n x x 3 = 1 6

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa série parece ser complicada, mas vou facilitar para você! Vamos lá?

O problema pediu para calcularmos o limite dessa função usando a série de Maclaurin que foi encontrada no item anterior.

Não só calcular, mostrar que é 1 / 6 ! Então, primeiro precisamos achar essa tal série!

Já fui lá no item anterior e resgatei esse resultado para você:

x - s e n x x 3 = ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 x 2 n - 2 ( 2 n + 1 ) !

E o que o problema pede é para calcularmos esse limite aqui

lim x → 0 ⁡ ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 x 2 n - 2 2 n + 1 !

Beleza?

Mas como vamos saber isso? Bom, a ideia aqui é bem simples: abrir a série nos polinômios dela e depois aplicar o limite!

Feito isso, depois é avaliar em x → 0 e só!

Tranquilo até aqui?

Passo 2

Vamos primeiro abrir alguns termos dessa série

A gente faz isso s

∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 x 2 n - 2 2 n + 1 ! = x 0 3 ! - x 2 5 ! + x 4 7 ! + …

Notem que apenas o primeiro termo da série não depende de x !

Isso significa que, quando colocarmos esses termos no limite e avaliarmos em x = 0 , apenas o primeiro termo irá sobreviver!

Passo 3

Substituindo esses termos no limite de x → 0

lim x → 0 ⁡ ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 x 2 n - 2 2 n + 1 ! = lim x → 0 ⁡ x 0 3 ! - x 2 5 ! + x 4 7 ! + … = 1 3 ! = 1 6

x 0 vai para 1 / 6 !

E é isso que o problema pedia!

Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

d e m o n s t r a ç ã o

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