Cálculo - James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição – Capítulo 11 – Seção 8 – Exercício 17
(Capítulo 11.8 – Exercício 17) Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:
Passo 1
Caaalma, não se assusta com essa série não hahahaha vamos resolver essa questão rapidinho
Temos a série
E aí, precisamos encontrar o raio de convergência dela, e o intervalo de convergência também.
Só pra lembrar: o intervalo de convergência vai incluir os valores de em que a série não vai explodir lá pro , sacou? Já o raio de convergência é basicamente a distância do centro da série até um extremo do intervalo de convergência
Agora sim, vamos lá!
Passo 2
Para encontrarmos o raio de convergência, vamos aplicar o queridíssimo Teste da Razão, que diz que dada uma série de potência assim:
Vamos calcular esse limite, obtendo o resultado
E aí o nosso raio de convergência vai ser
Fechou?
Passo 3
Sabendo que nossa série de potências é
, temos que o termo que gera a potência é o , enquanto o que multiplica ele é:
Então vamos calcular esse limite:
Temos , então
Cortando os termos comuns em cima e embaixo:
Passo 4
Tirando a constante do limite:
Quando , a raíz quadrada é sempre positiva, então podemos tirar o módulo:
O limite da raíz é a raíz do limite, então:
Vamos usar L’hospital para sair da indeterminação ok? Derivando em cima e embaixo:
Como o limite da constante é a própria constante, temos
Então o raio de convergência vale
Agora só falta o intervalo de convergência :P
Passo 5
Uma série de potências tem o formato genérico
Onde é o valor em que a série está centrada
No nosso caso, temos
Ou seja,
Então, . Logo, a nossa série está centrada em -4
Sabendo que o raio de convergência é , então o intervalo deve ser
Então sabemos que o intervalo é , porém devemos testar a convergência nas extremidades para definir onde o intervalo é aberto e onde é fechado.
Passo 6
Dado o intervalo , para , temos que
Como , podemos colocar o dentro do parênteses:
Como temos o elemento , essa série é alternada, pois vai ficar saltando entre valores positivos e negativos
Então, podemos fazer o Teste da Série Alternada para verificar a convergência dessa série. Temos:
Temos que , porque quanto maior o denominador, menor o resultado da divisão, certo? Então, o primeiro quesito do teste da série alternada para convergência já está cumpridooo
Agora vamos verificar o limite de com , se der 0, realmente a série converge para
Showw! Então o está incluso no intervalo de convergência. Agora vamos ver
Passo 7
Para , temos que
Como , podemos colocar o dentro do parênteses:
Vamos ver se essa série diverge ou converge. Vamos verificar isso utilizando o teste da série .
Comparando com a série , temos que , o expoente do no denominador
Como , a série diverge, fechou?
Logo, a série converge para e diverge para , o que nos dá esse intervalo de convergência
E acabaaaamos