UFJF – Equações Diferenciais – Lista 9 – Questão 4m
Verifique se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique provando as verdadeiras e apresentando um contraexemplo para as falsas
Seconverge, então converge
Passo 1
Olá, tudo tranquilo? Precisamos ou confirmar ou dar um contraexemplo nessa afirmação aqui
Seconverge, então converge
Para uma série ser convergente, ela pode passar por qualquer um dos testes de convergência
E se agora elevarmos ao quadrado o termo geral? será que essa convergência sobrevive?
Quando elevamos ao quadrado, as cosias não ficam positivas? Então é isso que vou usar aqui como contraexemplo e mostrar para você se essa afirmação está certa ou errada!
Mas antes de sair por aí escolhendo séries, vamos relembrar de dois testes bem importantes:
O Teste das Séries alternadas nos diz que supondo uma série do tipo
para haver a convergência precisamos satisfazer dois critérios:
1º)
2º)
E o outro é o Teste da Integral: supondo uma série cujo termo geral é decrescente e positivo, fazendo a correlação :
- Se converge, então converge
- Caso contrário, ambas divergem
Agora nossa missão é pensar em uma série que seja convergente, mas que o seu quadrado não seja (assim damos um contraexemplo!)
Mas pode ficar tranquilo, vou fazer passo a passo com você! Vamos lá?
Passo 2
A primeira série que vou pegar vai ser uma alternada (pois assim o quadrado dela vira positiva sempre) e que seja convergente:
Pelo critério das séries alternadas:
1º)
2º)
Tranquilo até aqui? Então temos que essa série é convergente! Até aqui tudo na santa paz! Mas e se elevarmos ao quadrado, será que essa convergência sobrevive?
Passo 3
Agora nossa missão é elevar ao quadrado todo termo geral e analisar a série resultante! Nossa série era
Elevando o termo geral ao quadrado temos o seguinte:
Para
Será sempre ! Nunca vai alternar o sinal! Temos que é sempre positivo, então
Assim nosso termo geral se torna a série harmônica
Legal né?
Agora vamos verificar a convergência dela: aplicando o teste da integral!
Ou seja, a série harmônica diverge
Embora a série seja convergente, a série é divergente nesse caso! E se falha em um caso, já não podemos concluir que seja verdade!
Então a afirmativa é falsa
Ufa, terminamos! #partiu treinar mais?