UTFPR. Campus Londrina. Cálculo 3. Listas de Estudos. 2022.2. Questão 2b.
2 – Seja
b) Determine se é convergente.
Repita a análise para , isto é, estude a convergência de .
Passo 1
Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎
Nessa questão temos que determinar a convergência de duas séries. A primeira é e a segunda é .
Pra isso, temos diversos testes que podemos fazer, mas o primeiro de todos, sempre deve ser o teste da divergência.
Lembra como se faz? 😁
O teste da divergência consiste em calcular o limite de e de para tendendo ao infinito. Se o resultado for um valor diferente de , significa que a série diverge. Mas se for igual a , não podemos afirmar nada.
Caso esse último seja o resultado de algum deles, vamos aplicar o teste da razão.
Já esse teste consiste em calcular o limite de e/ou para tendendo ao infinito, assim se o resultado for um valor menor que a serie converge, se for maior que a serie diverge e se for igual a não podemos afirmar nada.
Bora começar? 😉
Passo 2
Vamos começar pela série .
Aplicando o deste de divergência, temos
Se tentássemos substituir por infinito agora, iriamos chegar em uma indeterminação , então nesses casos, vamos aplicar a regra de L’Hopital.
Essa técnica consiste em derivar o numerador e o denominador, veja só
Na derivada de , aplicamos o método de derivação polinomial
Já na derivada de temos o produto entre e , então aplicamos a regra do produto.
A derivada de sabemos que é , pelo método de derivação polinomial, mas a derivada de não é tão comum de ser calculada.
Pela regra do expoente da derivada, a derivada de é dada por
Ou seja, repete o derivando e multiplica por da base do expoente...
Substituindo na derivada de
Dessa forma, o limite é dado por
Agora sim, substituindo por infinito, vamos chegar em uma fração , ou seja, um número muito pequeno sendo dividido por um número muito grande que resulta em um valor tão pequeno que podemos dizer que é
Então, pelo teste da divergência, não podemos afirmar nada sobre a convergência da série .
Entendeu essa parte? 😁
Passo 3
Agora vamos aplicar o teste da razão para
No numerador, substituímos por em
Simplificando e reescrevendo como ...
Como temos multiplicando os denominadores das duas frações, podemos simplificá-los
Calculando os extremos sobre os meios...
Dividindo tudo por
Dessa forma, substituindo por , vamos chegar em que , e vão tender a já que um número muito pequeno está sendo dividido por um número muito grande, logo
Como o resultado foi um número menor que , então chegamos à conclusão de que converge!
Legal, não é? 😉
Passo 4
Agora, vamos analisar a série .
Segundo os mesmos passos, aplicando o teste da divergência, vamos obter
Dividindo todos os termos por , chegamos em
Pela mesma ideia do passo anterior, ao substituirmos por , podemos dizer que e são iguais a , ou seja
Como o limite resultou em um valor diferente de , então a série diverge!
Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁
Resposta
converge pelo teste da razão.
diverge pelo teste da divergência.