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Exercícios Resolvidos de Teste da Razão e da Raiz

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Enunciado

Decida sobre a convergência da série abaixo:

∑ n = 0 ∞ n ln ⁡ n 2 n

Passo 1

Então, galerinha, repara que nosso somatório tem um cara de serie geométrica, mas também temos n na base. Por isso, pra decidir sobre a convergência dessa série, vamos aplicar o teste da razão:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

E analisar o valor de L . Se L < 1 , então temos que a série converge.

Então, fazendo a n = n ln ⁡ n 2 n , teremos:

lim n → ∞ ⁡ n + 1 ln ⁡ n + 1   2 n + 1 n ln ⁡ n 2 n

= lim n → ∞ ⁡ n + 1 ln ⁡ n + 1   2 n + 1   2 n n ln ⁡ n

= lim n → ∞ ⁡ n + 1 ln ⁡ n + 1 2 n ln ⁡ n

Passo 2

Resolvendo esse limite, chegamos em uma indeterminação,

lim n → ∞ ⁡ n + 1 ln ⁡ n + 1 2 n ln ⁡ n = ∞ ∞

Agora pela regra de L’Hôpital:

lim n → ∞ ⁡ n + 1 ln ⁡ n + 1 2 n ln ⁡ n = 1 2

Como o valor do limite L   é tal que: L < 1 , então a série converge absolutamente! Logo, converge.

Resposta

A série converge!

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Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ 1 + 1 n n 2
Determine se a série é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n n 2 + 4
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.9. ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1,1 n n 4
Prove que, se ∑ a n for absolutamente convergente, então: ∑ n = 1 ∞ a n ≤ ∑ n = 1 ∞ a n
Demonstre o Teste da Raiz. [Sugestão para a parte (i): Tome qualquer número r tal que Lr1 e use o fato de que existe um inteiro N tal que a n nr quando n ≥ N .]