UTFPR, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral 3, AV3 - 2022.2, Questão 2e
Verifique se as séries convergem ou divergem.
Passo 1
Oiie, tudo bem?
O enunciado pede para que determinemos a convergência (ou divergência) da série dada. Em nosso caso temos a seguinte série
Mas como fazemos isso? Cada caso é um caso e requer uma técnica diferente! Quando temos séries envolvendo fatoriais, costuma ser interessante aplicar o teste da razão. Lembra qual teste é esse? É aquele que diz
em que temos como o coeficiente em
Note que o teste pede que examinemos o valor de , se temos que a série é absolutamente convergente, se ou , a série é divergente, se o limite for , aí não podemos dizer nada e precisamos tentar outra coisa! Se tudo der certo, não vai dar . Bora lá!
Passo 2
Em nossa série podemos identificar que
Se escrevermos então o coeficiente , temos que
usando estas duas expressões, podemos escrever o nosso limite como
Beleza! Agora vamos simplificar um pouco as expressões! E ver o que isso vai dar! Vem comigo!
Passo 3
Primeiro, lembre que quando temos uma fração no denominador e outra no denominador, podemos reescrever a divisão multiplicando a fração do numerador, pelo inverso da fração do denominador, ou seja
Aqui, nós podemos fazer duas simplificações! Primeiro, usando propriedades do fatorial, podemos dizer que . De forma, que temos
em que simplifiquei no numerador e denominador! Essa é a vantagem de usar o teste da razão quando temos fatoriais! Você desaparece com eles! Agora, ainda podemos lembrar que , para escrever
novamente, simplifiquei no numerador e denominador, mas agora o termo . Por último, temos que no numerador simplifica com e obtemos
Ficou bem mais simples não é? Vamos voltar para o nosso limite!
Passo 4
Usando a simplificação que obtivemos na questão anterior, temos que
Podemos distribuir a fração dentro do módulo como
Agora, o limite pode ser distribuído como
Como este é um limite de , temos uma constante dividida por um número infinitamente grande, ou seja, o resultado final é muito pequeno! Sendo assim, nosso limite é
Como temos que , então a nossa série é absolutamente convergente! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchauzinho!
Resposta
A série é absolutamente convergente!