Cálculo - James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição – Capítulo 11 – Seção 9 – Exercício 3
(Capítulo 11.9 – Exercício 3) Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
Passo 1
Oiii pessoal, tudo certo? Vamos resolver mais uma questão juntos?
Temos uma função e aí queremos escrever essa função no formato de série de potências, assim
Ou seja, queremos mudar a forma que olhamos pra essa função
E aí, precisamos encontrar o intervalo de convergência dessa série de potências
Lembrando aqui: o intervalo de convergência vai incluir os valores de em que a série não vai explodir lá pro , sacou?
Passo 2
Passo 3
Temos a função
Vamos começar reescrevendo a função assim:
Opa opa opa, peraí!
Temos uma expressão no estilo
Se puxarmos na memória, essa é a expressão da soma de uma série geométrica de razão :
Passo 4
Show, se temos que a nossa função pode ser escrita assim:
Então isso é o resultado de uma soma geométrica com razão :
Como a razão da série geométrica é , temos que ter:
Ou seja, o intervalo de convergência é .