Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Teste da Razão e da Raiz

Ver Teoria
Exercício 721234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465666768697071737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

Cálculo - James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição – Capítulo 11 – Seção 6 – Exercício 18

(Capítulo 11.6 – Exercício 18) Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:

∑ n = 1 ∞ n ! n n

Passo 1

E aíí galera! Vamos lá pra mais uma questão de séries :P

Temos essa série aqui

∑ n = 1 ∞ n ! n n

E aí queremos determinar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente

Lembrando que

- Uma série ∑ a n é absolutamente convergente se ∑ | a n | for convergente

- Uma série ∑ a n é condicionalmente convergente se ela for convergente (pelos testes que já conhecemos) mas não for absolutamente convergente 😉

E aí para verificarmos isso, podemos utilizar o teste da razão, que diz que

- Se lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n < 1 , a série é absolutamente convergente

- Se lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n > 1 ou se esse limite for pro infinito, a série é divergente

Se o limite der 1, não podemos concluir nada hehe

Então vamos lá usar esse teste!!

Passo 2

Vamos usar o teste da razão:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n      

Temos que:

∑ n = 1 ∞ n ! n n

a n = n ! n n

E para sabermos a n + 1 basta somarmos um a todos os " n " de a n :

a n + 1 = ( n + 1 ) ! ( n + 1 ) n + 1

Passo 3

Agora, vamos colocar nossas informações na formulinha do teste da razão:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) ! ( n + 1 ) n + 1 n ! n n

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ n + 1 ! n + 1 n + 1 . n n n !

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ n + 1 . n ! n + 1 n . ( n + 1 ) . n n n !

Cortando os termos comuns:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 1 n + 1 n . n n

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ n n n + 1 n

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ x x + 1 x

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = e - 1 = 1 e

Passo 4

Como:

1 e < 1

Então, a série ∑ n = 1 ∞ n ! n n

é absolutamente convergente pelo teste da razão.

Resposta

A serie converge absolutamente.

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ 1 + 1 n n 2
Determine se a série é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n n 2 + 4
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.9. ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1,1 n n 4
Prove que, se ∑ a n for absolutamente convergente, então: ∑ n = 1 ∞ a n ≤ ∑ n = 1 ∞ a n
Demonstre o Teste da Raiz. [Sugestão para a parte (i): Tome qualquer número r tal que Lr1 e use o fato de que existe um inteiro N tal que a n nr quando n ≥ N .]