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Exercícios Resolvidos de Teste da Razão e da Raiz

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Enunciado

UFRJ – Cálculo 4 – 2020.2 – P1 – M. Escolha

5 . A série ∑ k = 1 ∞ ln ⁡ k - 2 k k + 1 k converge pelo teste da raiz.

Escolha uma opção:

Verdadeiro

Falso

Passo 1

Vem comigo que a gente resolve essa juntos!

Temos que conferir se a série que o enunciado deu converge pelo método da raiz. Esse método é dado pelo seguinte:

Se lim n → ∞ ⁡ a n n = L < 1 , então a série ∑ n = 1 ∞ a n é absolutamente convergente (e, logo, convergente).

Se lim n → ∞ ⁡ a n n = L > 1 ou lim n → ∞ ⁡ a n n = ∞ , então a série ∑ n = 1 ∞ a n é divergente.

Vamos atrás disso então!

Passo 2

Temos o seguinte então:

lim k → ∞ ⁡ ln ⁡ k - 2 k k + 1 k k

⇒ lim k → ∞ ⁡ ln ⁡ k - 2 k + 1

⇒ lim k → ∞ ⁡ k + 1 ln ⁡ k 2

⇒ lim k → ∞ ⁡ k ln ⁡ k 2 + lim k → ∞ ⁡ 1 ln ⁡ k 2

Passo 3

Agora podemos fazer k → ∞ , aí o segundo termos vai a zero, já que fica 1 sobre um numero muito grande, já o primeiro termo com a função k cresce mais rápido que ln ⁡ k , logo esse limite, logo temos que:

lim k → ∞ ⁡ k + 1 ln ⁡ k 2 = ∞

Logo a série diverge, então a opção correta é a falso.

Resposta

Falso

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Demonstre o Teste da Raiz. [Sugestão para a parte (i): Tome qualquer número r tal que Lr1 e use o fato de que existe um inteiro N tal que a n nr quando n ≥ N .]