UFSCAR, Sem Campus, Séries e Equações Diferenciais, Simulados 2021.1 - Simulado 12, Questão 8
Para qual conjunto de valores de , a sequência cujo enésimo termo é definido por
.
converge?
Passo 1
Oiie, tudo certinho contigo?
Nós temos aqui uma sequência cujo n-ésimo termo é definido pela seguinte soma de termos
mas note que a soma é em , e não tem nenhum dentro da soma! Isso foi um errinho de digitação da professora, o correto seria
Agora sim podemos resolver a questão! Precisamos achar o conjunto de valores de para o qual este n-ésimo termo convirja. Ou seja, analisar o intervalo de convergência da série que representa o n-ésimo termo de nossa sequência! Vamos trabalhar utilizando a seguinte série infinita
já que se obtermos um intervalo para a série infinita convergir, com certeza a série finita também irá convergir! Vem comigo!
Passo 2
Um teste que comumente é bastante útil para determinar raios de convergência é o teste da razão, o teste da razão é tal que
em que as condições de convergência são: para a série é absolutamente convergente, para , ou a série é divergente, e para , o teste é inconclusivo! Temos que o nosso é dado por
e, portanto que
E, o nosso limite toma a forma
Agora precisamos reescrever isso tudo um pouco! E tentar identificar nosso raio de convergência! Bora lá!
Passo 3
Usando que , e também temos que , podemos então simplificar um pouco o limite, temos que
Como temos que o limite afeta apenas , podemos escrever este limite como
ou seja, o nosso limite resulta em
Vamos lá analisar as nossas condições e terminar a questão!
Passo 4
Para que a série seja convergente é preciso que , portanto, temos que
Por simplicidade vamos começar multiplicando ambos os lados da desigualdade pela função , ou seja, temos que
note que também usei que . Agora, lembre que pode tomar valores positivos ou negativos, ou seja, a relação acima tem validade para o intervalo em que , ou para os intervalos em que . Ou seja, o nosso intervalo é da forma
e
ou seja, é a união dos dois intervalos a seguir
cuidado para não confundir e achar que o intervalo vai de até , note que temos que pegar os valores que são menores que e maiores , portanto, os valores entre estes dois valores não pertencem ao nosso conjunto! Os extremos infinitos são claramente abertos, mas ainda precisamos verificar os extremos e , vamos fazer isso!
Passo 5
Para , temos que
já que podemos simplificar o no numerador com o que está no denominador, note que ambos tem o mesmo expoente. Essa é então uma série alternada que toma sempre os valores e . Portanto, pelo teste da série alternada, ela não é decrescente e nem tem limite de . Ou seja, a série é divergente! Agora, para , temos que
que é divergente, pois uma série que soma termos constantes é sempre divergente! Portanto, podemos garantir que o intervalo de convergência é aberto como escrevemos anteriormente
Como este intervalo garante a convergência da série infinita, ele com certeza garante a convergência do n-ésimo termo dado por
.
A questão foi isso! te vejo na próxima! Tchau Tchau!