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Exercícios Resolvidos de Teste da Razão e da Raiz

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Enunciado

UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 11 – Questão 14

Considere a série

∑ n = 1 ∞ [ n + 1 - n ]

Escolhe uma ou mais

  1. Calcule o limite lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n =
  2. Usando o teste da razão conclui-se que:

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem com vocês? Bora praticar mais sobre séries?

O problema deu essa série aqui

∑ n = 1 ∞ [ n + 1 - n ]

E pediu para acharmos o limite quando lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n , e depois usando o teste da razão, concluir sobre o comportamento da série

Então nada mais justo do que antes de começarmos, lembrar dos critérios de convergência para o teste da razão:

Seja ρ

ρ = lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

A série

c o n v e r g e ,   s e   ρ < 1 d i v e r g e ,   s e   ρ > 1   ( o u   ∞ )   i n c o n c l u s i v o ,   s e   ρ = 1

Então a ideia é resolver todos os itens e no final determinar se a série dada converge ou não!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Letra (a): vamos começar calculando esse limite aqui lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n :

Nossa série é

∑ n = 1 ∞ [ n + 1 - n ]

Sendo assim

a n = [ n + 1 - n ]

a n + 1 = [ n + 2 - n + 1 ]

E podemos calcular a razão a n + 1 a n :

a n + 1 a n = n + 2 - n + 1 n + 1 - n

Atenção!

ALERTA TRUQUE SUJO!

O truque sujo aqui é multiplicar pelo conjugado do denominador! Assim vamos nos livrar ao máximo das raízes no denominador!

a n + 1 a n = n + 2 - n + 1 n + 1 - n . n + 1 + n n + 1 + n = n 2 + 3 n + 2 + n 2 + 2 n - n + 1 - n 2 + n n + 1 - ( n )

Tudo bem até aqui? Vamos simplificar o que der!

a n + 1 a n = n 2 + 3 n + 2 + n 2 + 2 n - n + 1 - n 2 + n 1

Beleza?

Agora vamos calcular o limite

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ n 2 + 3 n + 2 + n 2 + 2 n - n + 1 - n 2 + n 1 ⏝ n o   i n f i n i t o   a p e n a s   o s   t e r m o s   n 2   s o b r e v i v e m   n a   r a i z =

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ n 2 + n 2 - n - n 2 - 1 1 = lim n → ∞ ⁡ - 1 1 = 1

Oba! Primeira parte concluída!

Passo 3

Letra (b): vamos agora relembrar dos critérios para convergência do teste da razão:

Supondo

ρ = lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

Temos três possibilidades:

c o n v e r g e ,   s e   ρ < 1 d i v e r g e ,   s e   ρ > 1   ( o u   ∞ )   i n c o n c l u s i v o ,   s e   ρ = 1

Encontramos lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 1 , sendo assim o teste foi inconclusivo!

Isso significa que a série pode ou não convergir! Mas o problema não pergunta isso, pede apenas para avaliarmos a série com base no teste da razão!

Show? Bora praticar mais?

Resposta

a ) 1

b )   i n c o n c l u s i v o

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Determine se a série é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n n 2 + 4
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.9. ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1,1 n n 4
Prove que, se ∑ a n for absolutamente convergente, então: ∑ n = 1 ∞ a n ≤ ∑ n = 1 ∞ a n
Demonstre o Teste da Raiz. [Sugestão para a parte (i): Tome qualquer número r tal que Lr1 e use o fato de que existe um inteiro N tal que a n nr quando n ≥ N .]