Questão 2) Determine, em cada item, se a série é convergente ou divergente, determinando também qual modo de convergência. Especifique os testes utilizados.
c)
Passo 1
Bem, a primeira coisa que temos que fazer em séries de frações assim é averiguar se o termo geral está indo a , pois se não nem precisa de fazer conta, afinal ela divergirá direto:
Como quando aumente o termo do denominador aumente muito, então o limite vai a:
Ótimo então a série pode ou não convergir. Temos que encontrar o melhor método de averiguar isso.
Veja que temos uma sequência que está sendo elevada a :
Nesse caso é muito interessante pensarmos em uma prova pelo Teste da raiz:
Como o termo de dentro é sempre positivo, pois para (que é o nosso caso) o arco tangente é sempre positivo. Uma potência de um termo positivo continua sendo positiva.
Dependendo do resultado desse limite, de acordo com a teoria temos três respostas diferentes:
1º - Limite maior que série divergente;
2º - Limite menor que série convergente;
3º - Limite igual a , nada podemos falar (ai tem que procurar um outro método).
Então bora calcular esse limite aí!
Passo 2
Como o arco cuja tangente é muito grande é acontece quando nos aproximamos de , então...
Por ser um número maior que , implica...
Logo, a série converge!
Passo 3
Além disso, podemos falar mais, como não importa se colocamos módulo ou não nos termos da série, pois como vimos o termo é sempre positivo...
Então, dizemos que a série converge absolutamente!
Resposta
Converge absolutamente pelo teste da raiz.