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Exercícios Resolvidos de Teste da Razão e da Raiz

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Enunciado

Determine a convergência, convergência absoluta ou divergência das séries abaixo. Justifique.

∑ n = 1 ∞ 2 n n ! 3 3 n !

Passo 1

Cara, a gente não tem muitos termos elevado a n aqui e tem uns fatoriais. Esses fatoriais são a dica para tentarmos usar então o teste da razão.

Ele diz que se a nossa série tem um termo geral a n . Se fizermos

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

E 0 ≤ L < 1 então a série converge, mas se L > 1 , então a série diverge. Vamos avaliar então para que intervalo a gente tem L < 1 .

Vamos tentar aplicar isso na nossa série!

Passo 2

Então o termo geral a n dela é

a n = 2 n n ! 3 3 n !

E a n + 1 fica

a n + 1 = 2 n + 1 ( n + 1 ) ! 3 3 ( n + 1 ) !

∴

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1 n + 1 ! 3 3 n + 1 ! 2 n n ! 3 3 n ! = lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1 n + 1 ! 3 3 n ! 3 n + 1 ! 2 n n ! 3  

= lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1 ! 3 3 n ! 3 n + 1 ! n ! 3  

Passo 3

Vamos abrir alguns fatoriais. Concorda que:

n + 1 ! = n + 1 ⋅ n !

3 n + 1 ! = 3 n + 3 ! = 3 n + 3 3 n + 2 3 n + 1 3 n !

Aí nosso limite fica:

= lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1 ! 3 3 n ! 3 n + 1 ! n ! 3  

= lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1 3 n ! 3 3 n ! 3 n + 3 3 n + 2 3 n + 1 3 n ! n ! 3  

= lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1 3 3 n + 3 3 n + 2 3 n + 1   = lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1 3 3 n + 1 3 n + 2 3 n + 1   =

= lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1 2 3 3 n + 2 3 n + 1   = lim n → ∞ ⁡ 2 n 2 + 4 n + 2 27 n 2 + 27 n + 6   =

= lim n → ∞ ⁡ n 2 n 2 2 + 4 n + 2 n 2 27 + 27 n + 6 n 2   = lim n → ∞ ⁡ 2 + 4 n + 2 n 2 27 + 27 n + 6 n 2   = 2 27  

Passo 4

Voltando para o teste da razão:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 2 27

Como 2 27 < 1 , nossa série converge absolutamente.

Resposta

converge absolutamente

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Demonstre o Teste da Raiz. [Sugestão para a parte (i): Tome qualquer número r tal que Lr1 e use o fato de que existe um inteiro N tal que a n nr quando n ≥ N .]