Cálculo - James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição – Capítulo 11 – Seção 9 – Exercício 9
(Capítulo 11.9 – Exercício 9) Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
Passo 1
E ae!! Vamos maratonar séries de potência?
Temos uma função e aí queremos escrever essa função no formato de série de potências, assim
Ou seja, queremos mudar a forma que olhamos pra essa função
E aí, precisamos encontrar o intervalo de convergência dessa série de potências
Lembrando aqui: o intervalo de convergência vai incluir os valores de em que a série não vai explodir lá pro , sacou?
Passo 2
Temos a função
Mas pra gente aplicar alguma técnica, vamos precisar dar uma manipulada nessa expressão e escrever ela de um jeito diferente. Podemos começar separando essa fração na soma de 2 frações:
Temos a soma de 2 termos, cada um deles no estilo
Ou seja, um valor dividindo alguma coisa
Isso parece muito a representação de uma série assim:
Em que é o primeiro termo da série e é a razão. Então nós podemos usar a seguinte relação e transformar nossa relação mais uma vez.
Passo 3
Então, se temos a função
Podemos escrever ela assim:
Pronto, encontramos a representação em séries de potências. Agora só falta determinar o intervalo de convergência.
Passo 4
Como a razão de ambas as séries geométricas iniciais é , temos que ter:
Ou seja, o intervalo de convergência é .
E fimmm