UFMG – Cálculo 2 – P1 – Questão 2b
Considere a série
Onde é um inteiro positivo
- Mostre que série converge para
Passo 1
O problema pede para avaliarmos a convergência dessa série aqui:
quando .
Como estamos falando de uma série com fatorial, o mais indicado é o teste da razão para convergência absoluta!
Nossa série não é alternada, mas isso não tem problema! Podemos aplicar mesmo assim!
Mas calma, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Vamos agora substituir na série:
Então nossa série fica assim
Tranquilo?
O termo geral nesse caso é
E fazendo temos o
Agora podemos calcular a razão :
Beleza?
Passo 3
O próximo passo é simplificar essa razão! Como temos uma expressão com fatorial, a ideia é abrir ele até o menor deles para poder cortar. Então vamos abrir até e Em :
E agora precisamos calcular o limite quando
Passo 4
Xi! Encontramos uma indeterminação!
Mas espera aí! No infinito, nós aprendemos lá no cálculo 1, que apenas os termos de mais alta potência é que importam!
Então podemos simplificar o numerador para e embaixo e assim podemos calcular nosso limite:
Simplificando o numerador e o denominador e fazendo o limite:
Você lembra das possíveis conclusões desse teste? Tá aqui:
Encontramos , então a série é convergente!
Mostramos o que o problema pediu!
E é isso! Espero ter ajudado!
Até a próxima!