James Stewart, Cálculo Vol. 2, Tradução da 7ª edição norte-americana, São Paulo: Cengage Learning, 2013, pp.665 ex.10
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
E aíí galera! Vamos lá pra mais uma questão de séries :P
Temos essa série aqui
E aí queremos determinar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente
Lembrando que
- Uma série é absolutamente convergente se for convergente
- Uma série é condicionalmente convergente se ela for convergente (pelos testes que já conhecemos) mas não for absolutamente convergente 😉
Vamos lá
Passo 2
Temos
Como temos o termo , isso é uma série alternada, então bora usar o teste da série alternada pra verificar a convergência aqui
Esse teste diz que se uma série tiver o formato
Para que ela seja convergente, deve cumprir com esses dois requisitos:
1. ;
2.
Se ela não cumprir com um deles, ela diverge, fechou?
Passo 3
Olhando para , fazemos que:
Como o denominador de é maior do que o de , temos que
Agora, para o segundo requisito, basta calcular o seu limite:
Então, a série
Converge pelo teste das séries alternadas.
Passo 4
Legal, temos que a série converge sem o módulo, mas agora vamos ver com o módulo pra ver se ela converge absolutamente
Nesse caso, vamos aplicar esse teste para o módulo da nossa série ok? Ou seja:
Para saber se essa série converge, vamos usar o teste da comparação de limite.
Este teste funciona da seguinte forma: vamos comparar duas séries, uma de convergência conhecida e outra não () e então calculamos o seguinte limite
Se for um número finito e , ambas as séries convergem ou ambas divergem (dependendo do que conhecemos sobre )
Passo 5
Vamos escolher um para que possamos calcular o teste da comparação no limite.
Vamos fazer o teste da comparação com essa série (que sabemos que diverge)
Calculando pelo teste da comparação do limite:
Assim,
Como, e sabemos que diverge, então,
diverge pelo limite Teste de comparação no limite. Assim, a série é condicionalmente convergente: ela converge sem o módulo e diverge com o módulo
Resposta
Condicionalmente convergente.