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Exercícios Resolvidos de Teste da Razão e da Raiz

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Enunciado

Teste da razão

Decida sobre a convergência da série abaixo:

∑ n = 1 ∞ ( 2 n + 3 n ) n !

Passo 1

Nessa questão, vamos aplicar o teste da razão pra decidir sobre a convergência.

O quociente a n + 1 a n será dado por:

a n + 1 a n = 2 n + 1 + 3 n + 1 ( n + 1 ) ! ( 2 n + 3 n ) n ! = 2 n + 1 + 3 n + 1 n + 1 ! n ! ( 2 n + 3 n )

E colocando 3 n + 1 3 n em evidência, vamos ter:

a n + 1 a n = 1 n + 1 2 3 n + 1 + 1 2 3 n + 1 3 n + 1 3 n = 3 n + 1 2 3 n + 1 + 1 2 3 n + 1

Passo 2

Então, calculando o limite desse quociente:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 3 n + 1 lim n → ∞ ⁡ 2 3 n + 1 + 1 2 3 n + 1

Pela regra de L’Hôpital:

lim n → ∞ ⁡ 2 3 n + 1 + 1 2 3 n + 1 = 1

Então:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 3 n + 1 = 0

E podemos dizer que a série converge!

Resposta

A série converge.

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Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ 1 + 1 n n 2
Determine se a série é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n n 2 + 4
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.9. ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1,1 n n 4
Prove que, se ∑ a n for absolutamente convergente, então: ∑ n = 1 ∞ a n ≤ ∑ n = 1 ∞ a n
Demonstre o Teste da Raiz. [Sugestão para a parte (i): Tome qualquer número r tal que Lr1 e use o fato de que existe um inteiro N tal que a n nr quando n ≥ N .]