Cálculo - James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição – Capítulo 11 – Seção 8 – Exercício 15
(Capítulo 11.8 – Exercício 15) Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:
Passo 1
Oieee! Vamos pra mais uma?
Temos a série
E aí, precisamos encontrar o raio de convergência dela, e o intervalo de convergência também.
Só pra lembrar: o intervalo de convergência vai incluir os valores de em que a série não vai explodir lá pro , sacou? Já o raio de convergência é basicamente a distância do centro da série até um extremo do intervalo de convergência
Agora sim, vamos lá!
Passo 2
Para encontrarmos o raio de convergência, vamos aplicar o queridíssimo Teste da Razão, que diz que dada uma série de potência assim:
Vamos calcular esse limite, obtendo o resultado
E aí o nosso raio de convergência vai ser
Fechou?
Passo 3
Sabendo que nossa série de potências é
, temos que o termo que gera a potência é o , enquanto o que multiplica ele é:
Então vamos calcular esse limite:
Temos , então
Como caímos em uma indeterminação nesse limite, vamos usar L’Hospital para resolver.
Passo 4
Derivando em cima e embaixo:
Fazendo esse mesmo processo até sairmos da indeterminação:
Como o limite da constante é a própria constante, temos
Então o raio de convergência vale
Agora só falta o intervalo de convergência :P
Passo 5
Uma série de potências tem o formato genérico
Onde é o valor em que a série está centrada
No nosso caso, temos
Ou seja,
Então, . Logo, a nossa série está centrada em 2
Sabendo que o raio de convergência é , então o intervalo deve ser
Então sabemos que o intervalo é , porém devemos testar a convergência nas extremidades para definir onde o intervalo é aberto e onde é fechado.
Passo 6
Dado o intervalo , para , temos que
Como temos o elemento , essa série é alternada, pois vai ficar saltando entre valores positivos e negativos
Então, podemos fazer o Teste da Série Alternada para verificar a convergência dessa série. Temos:
Temos que , porque quanto maior o denominador, menor o resultado da divisão, certo? Então, o primeiro quesito do teste da série alternada para convergência já está cumpridooo
Agora vamos verificar o limite de com , se der 0, realmente a série converge para
Showw! Então o está incluso no intervalo de convergência. Agora vamos ver
Passo 7
Para , temos que
Vamos ver se essa série diverge ou converge. Vamos verificar isso utilizando o teste da série .
Comparando com a série , temos que , o expoente do no denominador (podemos ignorar o 1 que está somando no denominador, porque ele é irrelevante quando , ok?)
Como , a série converge, fechou?
Logo, a série converge para e para , o que nos dá esse intervalo de convergência, fechado nas extremidades:
E acabaaaamos