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Exercícios Resolvidos de Teste da Razão e da Raiz

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Enunciado

Questão 3) Determine, em cada item, se a série é convergente ou divergente, determinando também qual é o modo de convergência. Especifique os testes utilizados.

a)

∑ n = 0 ∞ e 3 n n + 1 !

Passo 1

Repara que temos uma exponencial e em baixo temos um fatorial. Essa duas coisas juntas pedem o teste da razão...

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

Onde o a n são os termos da sequência...

a n = e 3 n n + 1 !

Bora calcular então esse limite!

Passo 2

Bem, podemos falar que...

a n + 1 a n = e 3 n + 1 n + 2 ! e 3 n n + 1 ! =

Realizando a divisão...

e 3 n + 1 n + 2 ! ⋅ n + 1 ! e 3 n = e 3 n + 3 n + 2 n + 1 ! ⋅ n + 1 ! e 3 n =

e 3 n + 2 ⋅ e 3 n e 3 n = e 3 n + 2

Então no limite do teste ficamos...

lim n → ∞ ⁡ e 3 n + 2 =

Como o cara que está dentro do módulo já é positivo...

lim n → ∞ ⁡ e 3 n + 2

Quando n vai ao infinito esse cara vai a 0 , logo, pelo teste da razão...

lim n → ∞ ⁡ e 3 n + 2 = 0 < 1

Logo, podemos afirmar que a série converge.

Passo 3

Ahhh! E se você perceber, a série

∑ n = 0 ∞ e 3 n n + 1 !

Já é formada por termos positivos, afinal a exponencial é positiva para qualquer n e o denominador também é!

Então não faz diferença se colocarmos ou não o módulo...

∑ n = 0 ∞ e 3 n n + 1 ! = ∑ n = 0 ∞ e 3 n n + 1 !

Como a série sem módulo converge, a com módulo também, então dizemos ela converge absolutamente.

Resposta

Converge absolutamente pelo teste da razão.

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Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.9. ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1,1 n n 4
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Demonstre o Teste da Raiz. [Sugestão para a parte (i): Tome qualquer número r tal que Lr1 e use o fato de que existe um inteiro N tal que a n nr quando n ≥ N .]