UTFPR. Campus Londrina. Cálculo 3. Listas de Estudos. 2022.2. Questão 1c.
1 – Teste a convergência ou divergência das séries, mencione o teste utilizado.
c)
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
O problema nos pediu para determinar se a série diverge ou converge.
Pra isso, temos que usar algum teste de convergência. Pra escolher qual o melhor teste que podemos utilizar em cada caso, é necessário fazermos uma análise da série em questão...
Tem algum teste em mente? 🤔🤔
Nossa série é dada por . perceba que há uma potência com no expoente, nesses casos, a primeira ideia que poderíamos ter, depois do teste da divergência, é o teste da razão, já que com no expoente podemos fazer algumas simplificações interessantes!
O teste da razão implica no cálculo do limite de para tendendo ao infinito
Se for menor que , a serie converge, se for maior que , a série diverge e se , não podemos afirmar nada.
Preparado? Vamos começar! 😁
Passo 2
Já sabemos como é , mas precisamos obter , pra isso substituímos por
Substituindo e no limite...
A simplificação que podemos fazer é que sabe que ?
Então podemos dizer que , correto?
Fazendo essa substituição no limite, temos que
Perceba que após essa substituição temos multiplicando o numerador e o denominador, portanto podemos simplificá-lo
Em , é positivo, então podemos ignorar o módulo
Tranquilo até aqui? 😉
Passo 3
Substituindo por , vamos chegar em uma indeterminação . Então podemos aplicar a regra de L’Hopital. Derivando o numerador e o denominador do limite.
Derivando pelo método de derivação polinomial, multiplicando a variável pela sua potência subtraindo do seu expoente, temos
Dessa forma, temos
Como o limite de uma constante é igual a própria constante, então
Se e , então,
Como vimos no passo 1, se for menor que , a série converge!
Logo, converge!
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
Resposta
Converge pelo teste da razão.