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Exercícios Resolvidos de Teste da Razão e da Raiz

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Enunciado

UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 11 – Questão 17

Considere a série

∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n n 2

Sabendo que lim n → ∞ ⁡ n n = 1 ,

  1. Calcule o limite lim n → ∞ ⁡ | a n | n   =
  2. Usando o teste da raiz conclui-se que:

Passo 1

E aí galera, tudo bem?

O problema deu essa série aqui

∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n n 2

E pediu para acharmos o limite quando lim n → ∞ ⁡ | a n | n , e depois usando o teste da raiz, concluir sobre o comportamento da série

Então nada mais justo do que antes de começarmos, lembrar dos critérios de convergência para o teste da raiz:

Seja ρ

ρ = lim n → ∞ ⁡ a n n

A série

c o n v e r g e ,   s e   ρ < 1 d i v e r g e ,   s e   ρ > 1   ( o u   ∞ )   i n c o n c l u s i v o ,   s e   ρ = 1

Então a ideia é resolver todos os itens e no final determinar se a série dada converge ou não!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Letra (a): vamos começar calculando esse limite aqui lim n → ∞ ⁡ | a n | n :

Nossa série é

∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n n 2

Sendo assim

a n = - 1 n 2 n n 2

| a n | = 2 n n 2

Tudo bem até aqui?

Agora vamos calcular o limite

lim n → ∞ ⁡ | a n | n = lim n → ∞ ⁡ 2 n n 2 n = lim n → ∞ ⁡ 2 n n lim n → ∞ ⁡ n 2 n = 2 lim n → ∞ ⁡ n n 2

Mas sabendo que

lim n → ∞ ⁡ n n = 1

Então nosso limite

lim n → ∞ ⁡ | a n | n = 2 1 = 2

Oba! Primeira parte concluída!

Passo 3

Letra (b): vamos agora relembrar dos critérios para convergência do teste da raiz:

Supondo

ρ = lim n → ∞ ⁡ | a n | n

Temos três possibilidades:

c o n v e r g e ,   s e   ρ < 1 d i v e r g e ,   s e   ρ > 1   ( o u   ∞ )   i n c o n c l u s i v o ,   s e   ρ = 1

Encontramos lim n → ∞ ⁡ | a n | n = 2 , sendo assim nossa série diverge!

Seu comportamento é divergente!

Tranquilo? Bora praticar mais?

Resposta

a ) 2

b )   d i v e r g e n t e

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Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ 1 + 1 n n 2
Determine se a série é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n n 2 + 4
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.9. ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1,1 n n 4
Prove que, se ∑ a n for absolutamente convergente, então: ∑ n = 1 ∞ a n ≤ ∑ n = 1 ∞ a n
Demonstre o Teste da Raiz. [Sugestão para a parte (i): Tome qualquer número r tal que Lr1 e use o fato de que existe um inteiro N tal que a n nr quando n ≥ N .]