UTFPR– Cálculo Avançado – Lista 4 – Questão 1b
Utilize os testes de convergência para determinar se as séries são convergentes ou divergentes
Passo 1
Hello pessoal, tudo bem? Essa questão está no início de uma longa lista, vamos resolver esse segundo item? (o restante dela você pode encontrar no nosso site!)
Precisamos decidir se essa série
Converge ou diverge
E qual teste usar? Essa é a pergunta de milhões! Bom, olhando com carinho essa série vemos que temos no seu termo geral uma razão envolvendo fatorial e exponencial
E quando for assim a primeira coisa que você precisa lembrar é do teste da razão!
Mas o que nos diz esse teste?
O teste da razão avalia o comportamento no infinito da razão entre o “próximo termo” e o “termo geral”
Aqui podemos ter três cenários (e três conclusões diferentes):
- Se : série é convergente
- Se : nada podemos concluir (precisamos de outro teste!)
- Se : série é divergente
Então a ideia é calcular esse e torcer para que não dê a segunda conclusão!
Dica: se o termo geral envolve fatorial e exponencial, esse é o teste mais indicado! #segura essa dica de milhões!
Bora começar?
Vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Nossa série é a seguinte
E vamos usar o teste da razão
Então antes de mais nada, precisamos calcular a razão
Beleza?
Nosso termo geral é
Colocando no lugar de temos o “próximo termo”
E agora calcular :
Simplificando temos o seguinte
Beleza?
Agora nossa missão é calcular o limite quando ! bora lá?
Passo 3
O teste da razão é
E do passo anterior temos que
Agora vamos colocar essa expressão no limite!
Poxa vida, encontramos uma indeterminação!
#ALERTATRUQUESUJO
Você vai puxar lá da memória da cadeira onde você estudou limites e lembrar dos limites fundamentais! Um dos primeiros limites que vemos é a definição do número de Euler :
E se trocarmos mentalmente por no nosso limite temos algo bem parecido, saca só
Então a ideia aqui é manipular um pouco essa expressão para colocar a resposta em termos do limite fundamental de !
Então mãos à obra! A expressão que tem no nosso limite é a seguinte
E invertendo a base podemos separar a fração que tem dentro em duas partes
E podemos agora colocar aquele no expoente para “fora”
Estamos quase lá!
Voltando para nosso limite
E o último truque sujo: podemos passar o limite para dentro daqueles colchetes!
E agora sim! Temos exatamente a definição de ! Lembrando que estamos calculando :
E como , temos que
E portanto nosso teste da razão conclui que a série
É convergente!
Ufa! Terminamos! Espero ter ajudado!