UFSCAR, Sem Campus, Séries e Equações Diferenciais, Simulados 2021.1 - Simulado 111, Questão 22
Seja uma série de termos positivos tal que
Em relação a convergência da série, é correto afirmar que:
Diverge.
Não se pode dizer nada.
Converge.
Passo 1
Eaew, tudo bem contigo?
Nós temos aqui uma série infinita da forma
em que os elementos das séries são dados pela relação
precisamos verificar se ela diverge ou converge, ou se não podemos dizer nada. Para séries que tem os coeficientes elevados pela variável somada, ou seja, em nosso caso , é conveniente usar o teste da raiz, que nos diz que
Se temos que , a série converge absolutamente, se , a série não converge, se , nada se pode concluir. Vamos tentar resolver este limite então! Vem comigo!
Passo 2
Usando o formato de podemos escrever nosso limite como
como esta é uma série de termos positivos podemos simplesmente ignorar o módulo, temos então
da mesma forma, como temos a raiz de algo elevado a , podemos simplificar a raiz, e escrever que
Agora é resolver o limite! Lembra como fazemos limites desse tipo? Saca só!
Passo 3
Temos um limite indo para o infinito de um razão de polinômios, portanto, a coisa mais conveniente a se fazer é dividir o numerador e o denominador pelo termo de maior potência, em nosso caso, , obtemos então que
Se aplicarmos então o limite, ou seja, avaliar quando , temos que
nós interpretamos como um número muito grande, se dividir uma constante por um número muito grande, a divisão vai à zero, portanto, o limite acima se torna
como temos que , temos que nossa série é absolutamente convergente! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchauzinho!
Resposta
A série é absolutamente convergente!