Cálculo - James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição – Capítulo 11 – Seção 8 – Exercício 13
(Capítulo 11.8 – Exercício 13) Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:
Passo 1
Oieee, vamos lá pra mais uma questão de séries??
Temos a série
E aí, precisamos encontrar o raio de convergência dela, e o intervalo de convergência também.
Só pra lembrar: o intervalo de convergência vai incluir os valores de em que a série não vai explodir lá pro , beleza? Já o raio de convergência é a distância do centro da série até os extremos do intervalo de convergência
Agora sim, vamos lá!
Passo 2
Para encontrarmos o raio de convergência, vamos aplicar o queridíssimo Teste da Razão, que diz que dada uma série de potência assim:
Vamos calcular esse limite, obtendo o resultado
E aí o nosso raio de convergência vai ser
Fechou?
Passo 3
Sabendo que nossa série de potências é
, temos que o termo que gera a potência é o , enquanto o que multiplica ele é:
Então vamos calcular esse limite:
Temos , então
Cortando os termos comuns em cima e embaixo:
Quando , o é positivo, e o também, então:
Como temos uma indeterminação , podemos usar L’Hospital, bora lááá
Passo 4
Derivando em cima e embaixo:
Show, derivando em cima e embaixo mais uma vez até sair da indeterminação:
Como o limite da constante é a própria constante:
Então, temos que o raio de convergência vale
Agora só falta o intervalo de convergência, vamos que vamos!
Passo 5
Uma série de potências tem o formato genérico
Onde é o valor em que a série está centrada
No nosso caso, temos
Ou seja,
Então, . Logo, a nossa série está centrada em 0
Sabendo que o raio de convergência é , então o intervalo deve ser
Então sabemos que o intervalo é , porém devemos testar a convergência nas extremidades para definir onde o intervalo é aberto e onde é fechado.
Passo 6
Dado o intervalo , para , temos que
Vamos simplificar essa expressão? Se for par, teremos
Mas se for ímpar, temos
Então, de uma forma genérica, como o 1 fica alternando entre positivo e negativo, podemos escrever nossa série assim:
Ficou bem mais simples né? hahaha
Como para , então para (lembrando que quanto menor o denominador, maior o resultado da fração)
Desta forma, por comparação, temos (série harmônica divergente). Portanto, a série analisada também é divergente.
Logo, não está incluso no intervalo de convergência
Passo 7
Para , temos que
Como temos o elemento , essa série é alternada, pois vai ficar saltando entre valores positivos e negativos
Então, podemos fazer o Teste da Série Alternada para verificar a convergência dessa série. Temos:
Como temos que , porque quanto maior o denominador, menor o resultado da divisão, certo? Então, o primeiro quesito do teste da série alternada para convergência já está cumpridooo
Agora vamos verificar o limite de com , se der 0, realmente a série converge para
Showw! Então o está incluso no intervalo de convergência.
Logo, a série converge para e diverge para , o que nos dá esse intervalo de convergência
E acabaaaamos