Cálculo - James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição – Capítulo 11 – Seção 8 – Exercício 7
(Capítulo 11.8 – Exercício 7) Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:
Passo 1
Oieee, vamos lá pra essa questão de séries (não aquelas que a gente maratona ☹)
Temos a série
E aí, precisamos encontrar o raio de convergência dela, e o intervalo de convergência também.
Só pra lembrar: o intervalo de convergência vai incluir os valores de em que a série não vai explodir lá pro , sacou? Já o raio de convergência é basicamente a distância do centro da série até um extremo do intervalo de convergência
Agora sim, vamos lá!
Passo 2
Para encontrarmos o raio de convergência, vamos aplicar o queridíssimo Teste da Razão, que diz que dada uma série de potência assim:
Vamos calcular esse limite, obtendo o resultado
E aí o nosso raio de convergência vai ser
Fechou?
Passo 3
Sabendo que nossa série de potências é
, temos que o termo que gera a potência é o , enquanto o que multiplica ele é:
Então vamos calcular esse limite:
Temos , então
Cortando os termos comuns em cima e embaixo:
Quando temos uma constante dividida por algo que cresce muito, isso vai se aproximar de 0:
Então temos que , portanto
Epa! Se o raio de convergência é infinito, quer dizer que a série vai convergir pra todos todinhos os valores de
Então, o raio de convergência é e o intervalo de convergência é
Sem valores de que fazem a série divergir por aqui hahahaha