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Exercícios Resolvidos de Teste da Razão e da Raiz

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Enunciado

Determine quais dentre as séries abaixo convergem e quais divergem:

∑ n = 2 ∞ n 10 1,03 n

Passo 1

Cara, repara que o nosso termo geral tem no expoente de um dos termos, o n . Isso é uma dica para usarmos o teste da raiz.

Ele diz que se a nossa série tem um termo geral a n . Se fizermos

lim n → ∞ ⁡ a n n = lim n → ∞ ⁡ a n 1 n = L

E 0 ≤ L < 1 então a série converge, mas se L > 1 , então a série diverge.

Vamos tentar aplicar isso na nossa série!

Passo 2

Nossa série é

∑ n = 2 ∞ n 10 1,03 n

Então o termo geral dela é

a n = n 10 1,03 n

Tirando o módulo disso e depois a raiz:

a n 1 n = n 10 1,03 n 1 n = n 10 1,03 n 1 n = n 10 1,03 n n = n 10 n 1,03

Aplicando o limite

lim n → ∞ ⁡ a n 1 n = lim n → ∞ ⁡ n 10 n 1,03 = lim n → ∞ ⁡ n 10 n 1,03

Passo 3

Vamos resolver esse limite que ficou ali aplicando l n e depois uma exponencial. Aí não muda a expressão, só a cara dela

lim n → ∞ ⁡ n 10 n = lim n → ∞ ⁡ e ln ⁡ n 10 n = lim n → ∞ ⁡ e 10 n ln ⁡ n = e lim n → ∞ ⁡ 10 n ln ⁡ n

lim n → ∞ ⁡ 10 n ln ⁡ n = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n n 10 → ∞ ∞ ∴ lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n n 10 → L ' H → lim n → ∞ ⁡ 1 / n 1 / 10 = 0

∴

lim n → ∞ ⁡ n 10 n = e lim n → ∞ ⁡ 10 n ln ⁡ n = e 0 = 1

∴

lim n → ∞ ⁡ a n 1 n = lim n → ∞ ⁡ n 10 n 1,03 = 1 1,03

Como 1 1,03 < 1 , nossa série converge.

Resposta

Convergente

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Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.9. ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1,1 n n 4
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Demonstre o Teste da Raiz. [Sugestão para a parte (i): Tome qualquer número r tal que Lr1 e use o fato de que existe um inteiro N tal que a n nr quando n ≥ N .]