3 – Quais das seguintes séries numéricas convergem e quais divergem? Justifique sua resposta.

c) ∑ n = 0 ∞ n ! 2 n + 1 ! .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema queremos obter a convergência da série, ou seja, temos que mostrar se a série converge ou diverge.

Lembra como fazemos isso? 🤔

Nesses casos, temos que analisar a série que foi dada e tentar ver alguma característica que poderá nos auxiliar a escolher o melhor método que podemos usar pra obter a convergência da série.

Se isso não acontecer, o que temos que fazer �� partir para a tentativa e erro...

Bora lá! 😁

Passo 2

Nesse caso, a série possui uma característica importante! Temos fatoriais no numerador e no denominador...

Quando temos fatoriais, é quase certo que o método que vamos usar é o teste da razão.

Esse teste consiste em calcular o limite

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = P

Se P < 1 a série converge, se P > 1 a série diverge, mas se P = 1 não podemos afirmar nada com esse teste...

Se a m = n ! 2 n + 1 ! Então a n + 1 = n + 1 ! 2 n + 1 + 1 ! = n + 1 ! 2 n + 3 !

Aplicando o teste, temos

lim n → ∞ ⁡ n + 1 ! 2 n + 3 ! n ! 2 n + 1 ! = lim n → ∞ ⁡ n + 1 ! 2 n + 1 ! 2 n + 3 ! n !

Podemos reescrever n + 1 ! Como n + 1 · n - 1 + 1 ! = n + 1 · n ! E 2 n + 3 ! Como 2 n + 3 · 2 n - 1 + 3 ! = 2 n + 3 · 2 n + 1 !

Ao que acabamos de fazer foi só escrever o primeiro termo de cada um desses fatoriais

lim n → ∞ ⁡ n + 1 · n ! 2 n + 1 ! 2 n + 3 · 2 n + 1 ! n !

Dessa forma podemos simplificar a fração cortando n ! E 2 n + 1 !

lim n → ∞ ⁡ n + 1 2 n + 3

Dividindo tudo por n

lim n → ∞ ⁡ n / n + 1 / n 2 n / n + 3 / n

lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 / n 2 + 3 / n

Dessa forma, quando n → ∞ , os termos 1 / n e 3 / n vão a 0 , logo

lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 / n 2 + 3 / n = 1 2

Como o resultado foi menor que 1 , a série converge!

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

Converge pelo teste da razão

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