Questão 2: Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:
Passo 1
Nesse caso, podemos pensar no teste do limite para essa série, já que o temos os termos da série sendo uma composição de potências (quando tem potências, ou termos envolvendo fatoriais, é sempre bom pensar no teste do limite). Esse teste é feito assim:
Como ... Então temos que verificar o limite...
Como e estamos dentro de um módulo (que desconsidera o sinal) então...
pode sair do limite, já que é um termo escalar multiplicativo:
Agora, será antes de voltarmos para o teste mesmo, que nos pede...
Vamos calcular o limite de separado, ok?
Passo 2
Veja que para resolver esse limite, como temos termos com apenas no interior do módulo, o limite pode passar para dentro...
Veja que não é uma função contínua, pois varia no domínio dos números inteiros. Se considerarmos a função contínua em , podemos utilizar as técnicas de cálculo de limite de funções:
Como temos um caso de , podemos usar L’Hopital...
Logo, concluímos que o limite para quando vai para o infinito é:
Passo 3
Mas não é isso que queremos, não é verdade? O que queremos é ver se isso aqui acontece:
Como vimos no passo ,no nosso caso, esse termo no lado esquerdo é o mesmo que...
Como essa igualdade é satisfeita, então pelo Teste da Razão, a série é convergente!
Passo 4
Mas será que ela é também absolutamente convergente? Para ver isso, basta lembrar que uma série só é absolutamente convergente se...
... Se essa série converge!
Como no nosso caso , então, para saber se a série é absolutamente convergente, precisamos analisar...
Como o módulo de é e o módulo de é ele mesmo já que esse termo é positivo ( varia de ao infinito positivo)...
Passo 5
Para testar essa série, também podemos aplicar o Teste da Razão:
Como esse limite é
Então a série é também absolutamente convergente!