UFMG – Cálculo 2 – P1 – Questão 3
Diga se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergentes:
Passo 1
Oi, tudo bem? Essa série parece ser complicada, mas vou facilitar para você!
O problema pede para avaliarmos a convergência dessa série aqui:
E dizer se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Mas calma aí, você lembra o que cada coisa significa?
Uma série será absolutamente convergente quando for convergente! Uma série é condicionalmente convergente quando, sob alguma condição, essa série converge.
Por exemplo, a série harmônica: ela sendo positiva, como a gente conhece, diverge. Mas quando ela se torna alternada (multiplicando o termo geral), ela é convergente!
Então, mesmo se série divergir quando olhamos apenas para o módulo do seu termo geral, ainda a parte alternada pode convergir.
Mas, se nos dois casos a série divergir, então a série diverge mesmo.
Certo?
No nosso problema, temos uma série alternada, então o teste perfeito aqui (e que envolve o módulo do termo geral) é o teste da razão para séries alternadas.
Então a ideia aqui é o seguinte:
- Aplicar o teste da razão para séries alternadas e ver se chegamos a alguma conclusão;
- Caso dê um resultado inconclusivo, aplicar o teste das séries alternadas (caso dê certo, essa série será condicionalmente convergente)
- E se falhar de novo? Ah, é porque então essa série diverge!
Beleza? Vamos começar?
Passo 2
A série que precisamos analisar é essa aqui:
E como já comentei com você ali no passo anterior, vamos aplicar o teste da razão para séries alternadas.
Então para aplicar esse teste precisamos:
- identificar quem é na nossa série
- calcular
- determinar a razão
- calcular o limite dessa razão e comparar o resultado desse limite com as conclusões do teste =)
No nosso caso , então precisamos calcular . Para fazer isso, basta trocar por no termo geral:
Agora vamos calcular a razão :
Tranquilo até aqui? Agora precisamos calcular o limite dessa razão!
Passo 3
O próximo passo é calcular o limite dessa razão quando , usando todas as técnicas de limites que você aprendeu lá no cálculo 1:
Como chegamos a uma indeterminação do tipo , vamos aplicar a regra de L’Hopital (derivar em cima, derivar embaixo e avaliar o limite novamente):
Xi! Deu ruim!
Calma! Se seguir aparecendo uma indeterminação, segue aplicando a regra de L’Hopital! Até essa indeterminação desaparecer! Bora derivar de novo!
Poxa vida, segundo o teste da razão para séries alternadas, esse resultado é inconclusivo. Isso significa que precisamos aplicar outro teste, agora na série normal, para ver se ela converge ou não. Se convergir, aí será convergência condicional, pois apenas a série alternada convergirá, beleza?
Passo 4
Como o resultado for inconclusivo, vamos precisar aplicar outro teste para verificar seu comportamento. A série dada foi essa aqui
Como se trada de uma série alternada, vamos aplicar o teste das séries alternadas.
Esse teste tem duas condições para atestar que uma série converge, saca só:
Seja uma série alternada, ela será convergente se:
Vamos ver se essa série satisfaz as duas condições? Bora lá!
Ok! A primeira condição foi satisfeita! Vamos verificar a segunda?
Podemos notar que o denominador sempre irá aumentar, então
E a segunda condição também é satisfeita!
Sendo assim, a série alternada converge, embora não possamos concluir isso do módulo dessa série.
Isso significa que nossa série converge condicionalmente!
Ufa! Terminamos!
Bora pra próxima?