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Exercícios Resolvidos de Teste da Razão e da Raiz

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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição – Capítulo 11 – Seção 8 – Exercício 5

(Capítulo 11.8 – Exercício 5) Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.

∑ n = 1 ∞ x n 2 n + 1  

Passo 1

Faaala! Vamos lá entender o que essa questão quer da gente

Temos a série

∑ n = 1 ∞ x n 2 n + 1

E aí, precisamos encontrar o raio de convergência dela, e o intervalo de convergência também.

Só pra lembrar: o intervalo de convergência vai incluir os valores de x em que a série não vai explodir lá pro ∞ , sacou? Já o raio de convergência é basicamente a distância do centro da série até um extremo do intervalo de convergência

Agora sim, vamos lá!

Passo 2

Para encontrarmos o raio de convergência, vamos aplicar o queridíssimo Teste da Razão, que diz que dada uma série de potência assim:

∑ c n . x - a n

Vamos calcular esse limite, obtendo o resultado L

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = L

E aí o nosso raio de convergência R vai ser

R = 1 L

Fechou?

Passo 3

Sabendo que nossa série de potências é

∑ n = 1 ∞ x n 2 n + 1

∑ n = 1 ∞ 1 2 n + 1 . x n

temos que o termo que gera a potência é o x n , enquanto o c n é o termo que multiplica ele:

c n = 1 2 n + 1

Então vamos calcular esse limite:

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n

Temos c n + 1 = 1 2 ( n + 1 ) + 1 = 1 2 n + 3 , então

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = lim n → ∞ ⁡ 1 2 n + 3 1 2 n + 1

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1 2 n + 3

Como caímos em uma indeterminação ∞ ∞ nesse limite, vamos usar L’Hospital para resolver. Derivando em cima e embaixo:

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = lim n → ∞ ⁡ 2 2

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = lim n → ∞ ⁡ 1

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = 1

Então, temos que o raio de convergência R vale

R = 1 L = 1 1 = 1

Agora só falta o intervalo de convergência :P

Passo 4

Uma série de potências tem o formato genérico

∑ n ∞ c n . x - a n

Onde a é o valor em que a série está centrada

No nosso caso, temos

∑ n = 1 ∞ x n 2 n + 1

Ou seja, x - a n = x n

Então, a = 0 . Logo, a nossa série está centrada em 0

Sabendo que o raio de convergência é R = 1 , então o intervalo deve ser 0 - 1 ,   0 + 1

Então sabemos que o intervalo é ( - 1 ,   1 ) , porém devemos testar a convergência nas extremidades para definir onde o intervalo é aberto e onde é fechado.

Passo 5

Dado o intervalo ( - 1,1 ) , para x = - 1 , temos que

∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n 2 n + 1

Como temos o elemento ( - 1 ) n , essa série é alternada, pois vai ficar saltando entre valores positivos e negativos

Então, podemos fazer o Teste da Série Alternada para verificar a convergência dessa série. Temos:

b n = 1 2 n + 1

b n + 1 = 1 2 ( n + 1 ) + 1 = 1 2 n + 3

Temos que b n + 1 ≤ b n , porque quanto maior o denominador, menor o resultado da divisão, certo? Então, o primeiro quesito do teste da série alternada para convergência já está cumpridooo

Agora vamos verificar o limite de b n com x → ∞ , se der 0, realmente a série converge para x = - 1

lim n → ∞ ⁡ 1 2 n + 1 = 0

Showw! Então o x = - 1 está incluso no intervalo de convergência. Agora vamos ver x = 1

Passo 6

Para x = 1 , temos que

∑ n = 1 ∞ ( 1 ) n 2 n + 1 = ∑ n = 1 ∞ 1 2 n + 1

Vamos ver se essa série diverge ou converge. Vamos verificar isso utilizando o teste da série p . Como estamos falando de um n → ∞ , podemos ignorar o valor somado no denominador, ele vai ser irrelevante nessa análise ok?

∑ n = 1 ∞ 1 2 n

1 2 ∑ n = 1 ∞ 1 n

Isso pode ser escrito assim:

1 2 ∑ n = 1 ∞ 1 n 1

Comparando com a série p , temos que p = 1 , o expoente do n no denominador

Como p ≤ 1 , a série diverge, fechou?

Logo, a série converge para x = - 1 e diverge para x = 1 , o que nos dá esse intervalo de convergência:

[ - 1,1 )

E acabaaaamos

Resposta

R = 1

[ - 1,1 )

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Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ 1 + 1 n n 2
Determine se a série é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n n 2 + 4
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.9. ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1,1 n n 4
Prove que, se ∑ a n for absolutamente convergente, então: ∑ n = 1 ∞ a n ≤ ∑ n = 1 ∞ a n
Demonstre o Teste da Raiz. [Sugestão para a parte (i): Tome qualquer número r tal que Lr1 e use o fato de que existe um inteiro N tal que a n nr quando n ≥ N .]