Cálculo - James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição – Capítulo 11 – Seção 9 – Exercício 7
(Capítulo 11.9 – Exercício 7) Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
Passo 1
Vamos que vamos pra mais uma!!
Temos uma função e aí queremos escrever essa função no formato de série de potências, assim
Ou seja, queremos mudar a forma que olhamos pra essa função
E aí, precisamos encontrar o intervalo de convergência dessa série de potências
Lembrando aqui: o intervalo de convergência vai incluir os valores de em que a série não vai explodir lá pro , sacou?
Passo 2
Temos a função
Vamos tentar fazer aparecer um no denominador, porque aí vamos chegar em uma fórmula genérica de uma soma geométrica
Dividindo tudo por 9:
E aí podemos reescrever assim:
Certo, temos algo no estilo
Ou seja, um valor dividindo alguma coisa
Isso parece muito a representação de uma série assim:
Em que é o primeiro termo da série e é a razão:
Passo 3
Então meu caro, se temos a função
Então ela pode ser escrita como essa série:
Passo 4
Beleza! Como a razão da série geométrica é , temos que ter, pra série convergir:
Ou seja, o intervalo de convergência é .