UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, Listas de Cálculo 2 - UAMat - Lista 4, Questão 10a
Determine se a série converge ou diverge
Passo 1
E aii galerinhaa, bora resolver essa comigo?
Para determinar se a série converge ou diverge, podemos usar o teste da razão.
O teste da razão é uma técnica comum para verificar a convergência ou a divergência de uma série.
A ideia é comparar o termo geral da série com o termo seguinte e verificar o limite dessa razão conforme tende ao infinito.
Se o limite for menor que 1, a série original converge.
Se o limite for maior ou igual a 1, a série original diverge.
O termo geral da série dada é . Vamos aplicar o teste da razão:
Considere o termo de ordem :
Agora, calculamos a razão entre os termos gerais das duas séries:
Agora, simplificamos essa razão:
Observe que a raiz quadrada de 2 e se cancelam:
Agora, vamos calcular o limite dessa razão conforme n tende ao infinito.
Passo 2
Para calcular o limite da razão conforme tende ao infinito, você pode usar a regra do limite para frações.
Essa regra nos diz que, se são funções cujos limites quando tende ao infinito são finitos e diferentes de zero, então o limite da razão conforme tende ao infinito é igual ao limite de .
Neste caso,
Vamos calcular os limites individuais de à medida que tende ao infinito:
1. Limite de
2. Limite de
Ambos tendem ao infinito à medida que tende ao infinito.
Agora, podemos aplicar a regra do limite para frações, que nos diz que o limite da razão é o limite da razão dos limites:
Como ambos os limites individuais são infinitos, podemos usar a regra do limite infinito sobre infinito.
Nesse caso, o resultado será indeterminado, e podemos aplicar a regra de L'Hôpital:
Aplicando a regra de L'Hôpital:
Portanto, o limite da razão conforme tende ao infinito é igual a .
Passo 3
- Se o limite for menor que 1, a série original converge.
- Se o limite for maior ou igual a 1, a série original diverge.
Neste caso, o limite é 1/2, que é menor que 1.
Portanto, podemos concluir que a série converge.
Resposta
Converge.