USP – Cálculo 4 – 2019 – P1 – Exercício 6
Seja uma série numérica. Considere as seguintes afirmações:
(I) Se então diverge.
(II) Se então converge.
(III) Se converge então converge.
Podemos afirmar que são corretas apenas as alternativas:
a) (I).
b) (II) e (III).
c) (I) e (III).
d) (III).
e) (I) e (II).
Passo 1
Prontos para mais uma questão teórica sobre séries?
Temos que analisar três afirmativas. A primeira é a mais simples: se então diverge. Ela é verdadeira devido ao teste da razão, em que tomamos
Se ela é convergente e se ela diverge. Portanto, caso o limite seja maior que , podemos garantir que a série diverge!
Como a afirmativa (I) é verdadeira, já podemos eliminar as alternativas B e D.
Passo 2
A segunda afirmativa diz que se então converge, o que é falso!!!
A recíproca é verdadeira: se converge, então . Com isso, se o limite do termo geral não for para zero nós sabemos que a série diverge, mas se ele tende a zero, ela pode ou não convergir...
Agora restam apenas as alternativas A e E disponíveis!
Passo 3
Por fim, temos a afirmativa (III): se converge então converge. Essa afirmativa é falsa e vou provar isso com um contra exemplo! Sabemos que a série
converge, mas a série
diverge. Eu sei que você deve estar questionando: mas a série do problema começa em e essa série que você usou começa em . Isso não faz diferença nenhuma pois o que vale é comportamente para . Eu poderia ter usado as série
que o argumento seria o mesmo!
Com isso, vemos que apenas a afirmativa (I) é correta: alternativa A 😊
Resposta
Alternativa A.