Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Teste da Razão e da Raiz

Ver Teoria
Exercício 171234567891011121314151618192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 11 – Questão 13

Considere a série

∑ n = 1 ∞ - 1 n n 3 2 n

Escolhe uma ou mais

  1. Calcule o limite lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n =
  2. Usando o teste da razão conclui-se que:

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem com vocês? Bora praticar mais sobre séries?

O problema deu essa série aqui

∑ n = 1 ∞ - 1 n n 3 2 n

E pediu para acharmos o limite quando lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n , e depois usando o teste da razão, concluir sobre o comportamento da série

Então nada mais justo do que antes de começarmos, lembrar dos critérios de convergência para o teste da razão para séries alternadas:

Mas por que séries alternadas? Porque aquele - 1 n , á medida que n vai crescendo, ora dá como resultado + 1 , ora como - 1 , alternando o sinal da série

Retornando ao Teste da Razão para séries alternadas:

Seja ρ

ρ = lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

A série

c o n v e r g e ,   s e   ρ < 1 d i v e r g e ,   s e   ρ > 1   ( o u   ∞ )   i n c o n c l u s i v o ,   s e   ρ = 1

Então a ideia é resolver todos os itens e no final determinar se a série dada converge ou não!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Letra (a): vamos começar calculando esse limite aqui lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n :

Nossa série é

∑ n = 1 ∞ - 1 n n 3 2 n

Sendo assim

a n = - 1 n n 3 2 n

a n + 1 = - 1 n + 1 ( n + 1 ) 3 2 n + 1

E podemos calcular a razão a n + 1 a n :

a n + 1 a n = - 1 n + 1 ( n + 1 ) 3 2 n + 1 . 2 n - 1 n n 3 = ( n + 1 ) 3 2 n n 3 2.2 n = n + 1 3 2 n 3 = n 3 + 3 n 2 + 3 n + 1 2 n 3

Tudo bem até aqui?

Agora vamos calcular o limite

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ n 3 + 3 n 2 + 3 n + 1 2 n 3 ⏝ n o   i n f i n i t o   a p e n a s   o s   t e r m o s   n 3   s o b r e v i v e m =   1 2 < 1

Oba! Primeira parte concluída!

Passo 3

Letra (b): vamos agora relembrar dos critérios para convergência do teste da razão:

Supondo

ρ = lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

Temos três possibilidades:

c o n v e r g e ,   s e   ρ < 1 d i v e r g e ,   s e   ρ > 1   ( o u   ∞ )   i n c o n c l u s i v o ,   s e   ρ = 1

Encontramos lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 1 2 , sendo assim nossa série converge!

É convergente!

Beleza? E é isso! Bora praticar mais?

Resposta

a ) 1 2

b )   c o n v e r g e n t e

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ 1 + 1 n n 2
Determine se a série é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n n 2 + 4
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.9. ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1,1 n n 4
Prove que, se ∑ a n for absolutamente convergente, então: ∑ n = 1 ∞ a n ≤ ∑ n = 1 ∞ a n
Demonstre o Teste da Raiz. [Sugestão para a parte (i): Tome qualquer número r tal que Lr1 e use o fato de que existe um inteiro N tal que a n nr quando n ≥ N .]