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Exercícios Resolvidos de Teste da Razão e da Raiz

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Enunciado

UFMG, Sem Campus, Cálculo 2, P2 – 2023.1 – Questão 1a

Calcule o raio de convergência das seguintes séries:

∑ n = 2 + ∞ x n n ! log ⁡ n

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Bom, para analisarmos o raio de convergência da nossa série, primeiro precisamos ver quando ela converge, certo? Vamos dar uma olhada na série do enunciado:

∑ n = 2 + ∞ x n n ! log ⁡ n

Reparem que temos aqui uma série envolvendo potência, então vamos usar o Teste da Razão:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

s e   0 ≤ L < 1   e n t ã o   ∑ a n   é   c o n v e r g e n t e s e   L > 1   e n t ã o   ∑ a n   é   d i v e r g e n t e s e   L = 1   e n t ã o   n ã o   p o d e m o s   d i z e r   n a d a

Analisando as componentes dos limites, vamos dizer que:

a n = x n n ! log ⁡ n

a n + 1 = x n + 1 ( n + 1 ) ! log ⁡ ( n + 1 )

Show, já temos tudo, agora vamos calcular.

Passo 2

Começando a calcular:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

a n = x n n ! log ⁡ n

a n + 1 = x n + 1 ( n + 1 ) ! log ⁡ ( n + 1 )

Substituindo:

lim n → ∞ ⁡ x n + 1 ( n + 1 ) ! log ⁡ ( n + 1 ) x n n ! log ⁡ n = lim n → ∞ ⁡ x n + 1 ( n + 1 ) ! log ⁡ ( n + 1 ) × n ! log ⁡ n x n

Importante lembrar que:

x n + 1 = x n . x

n + 1 ! = n + 1 × n !

Logo:

lim n → ∞ ⁡ x n + 1 ( n + 1 ) ! log ⁡ ( n + 1 ) × n ! log ⁡ n x n = lim n → ∞ ⁡ x n . x n + 1 × n ! log ⁡ ( n + 1 ) × n ! log ⁡ n x n

lim n → ∞ ⁡ x n . x n + 1 × n ! log ⁡ ( n + 1 ) × n ! log ⁡ n x n = lim n → ∞ ⁡ x n + 1 × log ⁡ ( n + 1 ) × log ⁡ n

Como a variável do limite é n , vamos determinar que x é uma constante, e vamos jogar pra fora:

lim n → ∞ ⁡ x n + 1 × log ⁡ ( n + 1 ) × log ⁡ n = x × lim n → ∞ ⁡ log ⁡ n n + 1 × log ⁡ ( n + 1 )

Calculando o limite:

x × lim n → ∞ ⁡ log ⁡ n n + 1 × log ⁡ ( n + 1 ) = x × 0

Ou seja:

L = 0

Pelo que vimos lá no Passo 1:

s e   0 ≤ L < 1   e n t ã o   ∑ a n   é   c o n v e r g e n t e

Logo, a nossa série converge para qualquer valor de x , com isso, podemos dizer que o raio de convergência são todos os valores de x :

- ∞ ≤ x ≤ + ∞

Resposta

- ∞ ≤ x ≤ + ∞

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Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ 1 + 1 n n 2
Determine se a série é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n n 2 + 4
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.9. ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1,1 n n 4
Prove que, se ∑ a n for absolutamente convergente, então: ∑ n = 1 ∞ a n ≤ ∑ n = 1 ∞ a n
Demonstre o Teste da Raiz. [Sugestão para a parte (i): Tome qualquer número r tal que Lr1 e use o fato de que existe um inteiro N tal que a n nr quando n ≥ N .]