UFSCAR, Sem Campus, Séries e Equações Diferenciais, Simulados 2021.1 - Simulado 12, Questão 7
Para qual conjunto de valores de , a sequência cujo enésimo termo é definido por
.
converge?
Passo 1
Oiie, tudo certinho contigo?
Nós temos aqui uma sequência cujo n-ésimo termo é definido pela seguinte soma de termos
mas note que a soma é em , e não tem nenhum dentro da soma! Isso foi um errinho de digitação da professora, o correto seria
Agora sim podemos resolver a questão! Precisamos achar o conjunto de valores de para o qual este n-ésimo termo convirja. Ou seja, analisar o intervalo de convergência da série que representa o n-ésimo termo de nossa sequência! Vamos trabalhar utilizando a seguinte série infinita
já que se obtermos um intervalo para a série infinita convergir, com certeza a série finita também irá convergir! Vem comigo!
Passo 2
Um teste que comumente é bastante útil para determinar raios de convergência é o teste da razão, o teste da razão é tal que
em que as condições de convergência são: para a série é absolutamente convergente, para , ou a série é divergente, e para , o teste é inconclusivo! Temos que o nosso é dado por
e, portanto que
E, o nosso limite toma a forma
Agora precisamos reescrever isso tudo um pouco! E tentar identificar nosso raio de convergência! Bora lá!
Passo 3
Usando que , e também temos que , podemos então simplificar um pouco o limite, temos que
Como temos que o limite afeta apenas , podemos escrever este limite como
ou seja, o nosso limite resulta em
Vamos lá analisar as nossas condições e terminar a questão!
Passo 4
Para que a série seja convergente é preciso que , portanto, temos que
Como temos uma função módulo é preciso que além de , que , pois os valores negativos de são tomados como positivos! Sendo assim, nosso intervalo de convergência é dado pela desigualdade
Como é um número positivo, podemos dividir toda a desigualdade por sem mudar as desigualdades, temo que
Essa desigualdade dá uma prévia do intervalo de convergência da série infinita. Temos que ela seria
Mas para sabermos se os extremos pertencem ao conjunto devemos avaliá-los independentemente! Vamos fazer isso!
Passo 5
Para , temos que
já que podemos simplificar o no numerador com o que está no denominador, note que ambos tem o mesmo expoente. Essa é então uma série alternada que toma sempre os valores e . Portanto, pelo teste da série alternada, ela não é decrescente e nem tem limite de . Ou seja, a série é divergente! Agora, para , temos que
que é divergente, pois uma série que soma termos constantes é sempre divergente! Portanto, podemos garantir que o intervalo de convergência é aberto como escrevemos anteriormente
Como este intervalo garante a convergência da série infinita, ele com certeza garante a convergência do n-ésimo termo dado por
.
A questão foi isso! te vejo na próxima! Tchau Tchau!