Considere as seguintes séries:

Podemos afirmar que:

a) Ambas as séries (A) e (B) são divergentes.

b) A série (A) é absolutamente convergente e a série (B) é divergente.

c) A série (A) é divergente e a série (B) é absolutamente convergente.

d) A série (A) é divergente e a série (B) é condicionalmente convergente.

e) Ambas as séries (A) e (B) são absolutamente convergentes.

Fala pessoal, vamos resolver mais uma questão de cálculo 4 da POLI? Partiu!!!

Essa é uma questão sobre convergência de séries alternadas. O enunciado forneceu duas séries:

Temos que verificar se elas convergem ou não e dizer qual é o tipo de convergência. Antes disso, lembre-se que toda série alternada pode ser escrita na forma

No caso da série (A), temos que

Vamos ver o que acontece com quando . Para isso, temos que escrever

Assim,

Fazendo , sabemos que

Esse é o limite fundamental que você nunca deve esquecer! Na verdade, o limite que você deve conhecer é

Mas note que se fizermos :

Quando , . Assim, o primeiro termo tende a e o segundo tende a . Logo,

Mas note que é esse termo elevado a . Assim, quando tende ao infinito, tende a elevado a (que está indo para o infinito). Esse limite explode! Assim,

Assim, o limite do termo geral da sequência fica oscilando entre :

Esse limite não existe! Mais que isso, esse limite não é zero! Sabemos que se o limite do termo geral da série não for para zero, a série é divergente! Com isso, já conseguimos afirmar que a série (A) é divergente!

Esse tipo de teste é muito útil para você provar que uma série é divergente, mas lembre-se: caso o limite fosse zero você nada poderia afirmar sobre a série...