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Exercícios Resolvidos de Teste da Razão e da Raiz

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Enunciado

UFJF – Equações Diferenciais – Lista 9 – Questão 4k

Verifique se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique provando as verdadeiras e apresentando um contraexemplo para as falsas

( ) Se   ∑ n = 1 ∞ a n   converge absolutamente,   a n ≠ 0 , então   ∑ n = 1 ∞ 1 a n   diverge

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Precisamos justificar essa afirmação aqui

Se   ∑ n = 1 ∞ a n   converge absolutamente,   a n ≠ 0 , então   ∑ n = 1 ∞ 1 a n   diverge

Será que isso é verdade?

Vamos primeiramente relembrar o que significa dizer que uma série converge absolutamente:

  • A convergência absoluta vem do Teste da Razão Para Convergência Absoluta (TRCA):

    • ρ = lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

    Dizemos que ela é convergente quando:

    ρ < 1

    Tudo bem até aqui? Agora o problema pede para trocarmos o termo geral

    a n → 1 | a n |

    E verificar se assim a série segue convergindo ou se diverge. Bom, a ideia aqui é usar o fato de que a n converge absolutamente e usar o TRCA para verificar essa nova configuração!

    Mas pode ficar tranquilo, vou fazer passo a passo com você!

    Vamos começar?

    Passo 2

    Nossa série é a seguinte

    ∑ n = 1 ∞ a n

    E ela converge absolutamente, então

    lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n < 1

    Tranquilo até aqui?

    Agora nosso termo geral mudou

    b n = 1 a n

    Para verificar se essa série é convergente vamos calcular a razão b n + 1 b n e verificar se ela é convergente (usando o resultado em função de a n ):

    b n + 1 b n = 1 a n + 1 1 a n = a n a n + 1

    Tranquilo?

    Avaliando no limite quando n → ∞

    ρ = lim n → ∞ ⁡ b n + 1 b n = lim n → ∞ ⁡ a n a n + 1

    Nossa missão passa a ser resolver esse limite! A princípio não temos nenhuma informação sobre ele! Mas é só a princípio...

    Passo 3

    Precisamos manipular esse limite aqui

    ρ = lim n → ∞ ⁡ a n a n + 1

    Pois sabemos que

    ρ = lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n < 1

    Podemos começar juntando os módulos em um só e invertendo a razão:

    lim n → ∞ ⁡ a n a n + 1 = lim n → ∞ ⁡ a n a n + 1 = lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n - 1

    E agora? Agora vem aquele truque sujo que você só encontra aqui! #ALERTATRUQUESUJO

    Vamos relembrar de algumas propriedades dos limites:

  • Propriedade da soma/subtração

    • lim x ⁡ A ± B = lim x ⁡ A ± lim x ⁡ B

  • Propriedade do produto/quociente

    • lim x ⁡ A . B = lim x ⁡ A . lim x ⁡ B             o u           lim x ⁡ A B = lim x ⁡ A lim x ⁡ B

    E por fim, a propriedade da potência

    lim x ⁡ A n = lim x ⁡ A n  

    A potência pode ir para fora do limite!

    Assim nosso limite fica dessa forma

    ρ = lim n → ∞ ⁡ b n + 1 b n =

    lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n - 1 = lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n - 1 = 1 lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

    Beleza? Como a série original converge absolutamente, sabemos que o limite lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n é menor do que 1 , então temos duas opções: ou é zero, ou é um número entre 0 e 1 :

  • Se o limite for zero, podemos afirmar que

ρ = lim n → ∞ ⁡ b n + 1 b n = 1 lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 1 0 → ∞

∑ 1 | a n | diverge!

Vamos analisar para um número entre 0 e 1

Agora se o limite for 1 / 3 (por exemplo):

ρ = lim n → ∞ ⁡ b n + 1 b n

1 lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 1 1 / 3 = 3 > 1

Então pelos critérios do nosso teste TRCA, ela é divergente também

Assim provamos que a afirmativa é verdadeira!

Ufa, terminamos! #partiu treinar mais?

Resposta

v e r d a d e i r o

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