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Exercícios Resolvidos de Teste da Razão e da Raiz

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Enunciado

UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 11 – Questão 15

Considere a série

∑ n = 1 ∞ 1 n n 2 + 1

Escolhe uma ou mais

  1. Calcule o limite lim n → ∞ ⁡ n n 2 + 1 n 2 =
  2. Calcule a integral ∫ 1 ∞ 1 x 2 d x =
  3. Usando o teste da integral e da comparação dos limites, pode-se concluir que a série:

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem com vocês? Bora praticar mais sobre séries?

O problema deu essa série aqui

∑ n = 1 ∞ 1 n n 2 + 1

lim n → ∞ ⁡ n n 2 + 1 n 2 , depois para calcular essa integral imprópria aqui ∫ 1 ∞ 1 x 2 d x , e por fim para usar os testes da integral e da comparação e concluir sobre a convergência da série dada... mas o que tem a ver uma coisa com a outra?

Porque estamos falando de dois testes: teste da integral e teste da comparação dos limites!

Vamos começar relembrando o Teste da Integral:

Considerando a sequência { a n } , onde a n = f ( n ) . Sendo f uma função positiva e decrescente em [ 1 , ∞ ) , então:

s e   ∫ 1 ∞ f ( x ) d x c o n v e r g e ,   e n t ã o   ∑ n = 1 ∞ a n c o n v e r g e   s e   ∫ 1 ∞ f ( x ) d x d i v e r g e ,   e n t ã o   ∑ n = 1 ∞ a n d i v e r g e

Sendo assim, vamos usar o teste da integral no termo

∫ 1 ∞ 1 x 2 d x

E verificar que essa integral converge ou diverge! Se ela converge, então a série

∑ n = 1 ∞ 1 x 2

Também converge! Se a integral diverge, a série também! E é essa série que vamos usar para fazer o teste da comparação! E assim entender o comportamento da série dada!

Em resumo o Teste da Comparação é

Supondo duas séries ∑ a n ,   ∑ b n :

s e   lim n → ∞ ⁡ a n b n = C > 0 ,   e n t ã o   a s   d u a s   t e m   o   m e s m o   c o m p o r t a m e n t o s e   lim n → ∞ ⁡ a n b n = 0 o u   ∞ ,   i n c o n c l u s i v o

Então a ideia é resolver todos os itens e no final determinar se a série dada converge ou não!

Mas fica tranquilo, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Letra (a): vamos começar calculando esse limite aqui lim n → ∞ ⁡ n n 2 + 1 n 2 :

lim n → ∞ ⁡ n n 2 + 1 n 2 = ⏝ n o   i n f i n i t o   n 2 + 1 ≈ n 2 lim n → ∞ ⁡ n n 2 n 2

= lim n → ∞ ⁡ n 2 n 2 = 1 > 0

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Letra (b): vamos a gora calcular essa integral imprópria ∫ 1 ∞ 1 x 2 d x e o truque aqui é trazer esse infinito para fora, resolver a integral e no final avaliar o limite! Saca só

∫ 1 ∞ 1 x 2 d x = lim c →  ∞ ⁡ ∫ 1 c 1 x 2 d x

= lim c →  ∞ ⁡ - 1 x 1 c = lim c →  ∞ ⁡ - 1 c + 1

E agora por fim avaliar o limite quando c → ∞

∫ 1 ∞ 1 x 2 d x = lim c →  ∞ ⁡ - 1 c + 1 = 1

Olha que legal! Encontramos um valor finito! Isso significa que a integral converge!

Partiu aplicar o teste da comparação de limites agora?

Passo 4

Letra (c): agora que sabemos que a série

∑ n = 1 ∞ 1 n 2

converge, vamos aplicar o teste da comparação dos limites! A série que queremos determinar o comportamento é

∑ n = 1 ∞ 1 n n 2 + 1

Então

b n = 1 n n 2 + 1

E a série que conhecemos o comportamento é

∑ n = 1 ∞ 1 n 2

Assim

a n = 1 n 2

Agora vamos calcular o limite de a n / b n

lim n → ∞ ⁡ n n 2 + 1 n 2

Mas esse limite acabamos de calcular na letra (a)! ela deu um valor finito de 1 :

lim n → ∞ ⁡ n n 2 + 1 n 2 = 1 > 0

Sendo assim, pelos critérios de convergência do teste da comparação dos limites, ambas as séries têm o mesmo comportamento!

Passo 5

Recapitulando

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 : c o n v e r g e n t e

lim n → ∞ ⁡ n n 2 + 1 n 2 = 1 > 0

Então a série

∑ n = 1 ∞ 1 n n 2 + 1

É convergente!

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

a )   1

b )   1

c )   c o n v e r g e n t e

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Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ 1 + 1 n n 2
Determine se a série é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n n 2 + 4
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.9. ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1,1 n n 4
Prove que, se ∑ a n for absolutamente convergente, então: ∑ n = 1 ∞ a n ≤ ∑ n = 1 ∞ a n
Demonstre o Teste da Raiz. [Sugestão para a parte (i): Tome qualquer número r tal que Lr1 e use o fato de que existe um inteiro N tal que a n nr quando n ≥ N .]