(Capítulo 11.6 – Exercício 3) Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

∑ n = 1 ∞ n 5 n

Passo 1

E aíí galera! Vamos lá pra mais uma questão de séries :P

Temos essa série aqui

∑ n = 1 ∞ n 5 n

E aí queremos determinar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente

Lembrando que

- Uma série ∑ a n é absolutamente convergente se ∑ | a n | for convergente

- Uma série ∑ a n é condicionalmente convergente se ela for convergente (pelos testes que já conhecemos) mas não for absolutamente convergente 😉

E aí para verificarmos isso, podemos utilizar o teste da razão, que diz que

- Se lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n < 1 , a série é absolutamente convergente

- Se lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n > 1 ou se esse limite for pro infinito, a série é divergente

Se o limite der 1, não podemos concluir nada hehe

Então vamos lá usar esse teste!!

Passo 2

Vamos usar o teste da razão:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n      

Temos que:

∑ n = 1 ∞ n 5 n

a n = n 5 n

E para sabermos a n + 1 basta somarmos um a todos os " n " de a n :

a n + 1 = n + 1 5 n + 1

Passo 3

Agora, vamos colocar nossas informações na formulinha do teste da razão:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ n + 1 5 n + 1 n 5 n

Note que podemos organizar essa expressão para resolvermos com mais facilidade:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ n + 1 5 n + 1 ⋅ 5 n n = lim n → ∞ ⁡ n + 1   5 n 5 1 ⋅ 5 n n = lim n → ∞ ⁡ 1   5 ⋅ n + 1 n = 1 5 lim n → ∞ ⁡ n + 1 n

Agora, já podemos tirar o modulo:

1 5 lim n → ∞ n + 1 n ⁡ = 1 5 lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n n = 1 5   ⋅ 1 = 1 5

Passo 4

Como:

1 5 < 1

Então, a série ∑ n = 1 ∞ n 5 n

é absolutamente convergente pelo teste da razão.

Resposta

Absolutamente convergente.

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