PUCRIO – Cálculo 4 – MAT1154 – 2020.2 – G1 – Tarefa 2
Considere a série
em que , , e são números reais fixados (constantes) e e são expoentes fixos que podem ser iguais.
Encontre condições sobre as constantes , , , , e para que a série seja convergente.
Exiba uma escolha de , , , , e para a qual a série diverge.
Passo 1
Vem comigo que a gente detona com essa questão!
Para mexermos com essa série o melhor caminho é usar o teste da raiz que para uma série convergente tem a seguinte condição:
Vamos aplicar isso a nossa série e ver que condições temos que ter para as constantes para a série ser convergente.
Passo 2
Temos o seguinte então:
Agora vamos isolar encima e embaixo, temos:
Podemos separar esse limite da seguinte forma:
Passo 3
Agora para que cada um daqueles limites exista e cai para zero logo menor que fazendo com que a série convirja, o termo do denominador tem que crescer muito mais rápido que o do numerador para isso acontecer, temos que:
E por consequência .
Agora as constantes e não interferem em nada no resultado do limite, logo eles podem assumir qualquer valor.
Passo 4
O item quer que a gente de valores para as constantes para fazer a série divergir.
As constantes e podem ter qualquer valor que não vão interferir em nada na divergência da série.
Agora para e basta escolher um maior que , podemos fazer a seguinte escolha:
Com essas escolhas a série diverge.
Com isso temos uma questão prontinha em mãos.
Resposta
Explicado acima.
Explicado acima.